Question

16．“嫦娥五号”计划于2017年前后在海南文昌航天发射基地发射，实施无人采样返回任务．若干年后，我国将向月球发射近20颗月球卫星，宇航员可以乘航天飞机对月球卫星进行维修．已知某月球卫星阳绕月球做匀速圆周运动，且距离月球表面的高度为h，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g．不考虑月球的自转，求：
（1）该卫星做匀速圆周运动的周期T；
（2）维修该卫星时，航天飞机的速度v．

Answer 1

分析 根据已知量，月球表面的物体受到的重力等于万有引力列出等式，近月卫星的万有引力提供向心力，可以求出月球表面附近的某卫星绕月球做匀速圆周运动的线速度v和周期T．

解答 解：（1）根据近月卫星的万有引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
根据万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{4π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
卫星绕月球运动的周期为：T=2π（R+h）$\sqrt{\frac{R+h}{{gR}^{2}}}$=$\frac{2π（R+h）}{gR}•\sqrt{g（R+h）}$．
（2）维修该卫星时，航天飞机的速度v与卫星的速度想相等的，根据万有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{{（{R+h}）}^2}}=m\frac{v^2}{R+h}$
得：v=$\frac{R\sqrt{g（R+h）}}{R+h}$
答：（1）卫星绕月球运动的周期是$\frac{2π（R+h）}{gR}•\sqrt{g（R+h）}$；（2）维修该卫星时，航天飞机的速度是$\frac{R\sqrt{g（R+h）}}{R+h}$．

点评 该题考查万有引力定律的应用，解答此题要清楚月球表面的物体受到的重力等于万有引力，月球近地卫星所受的万有引力提供向心力．