Question

如图所示，MN为3m宽的小沟，M点左侧1m处有一5m高的平台与半径为1.25m的

1

4

圆弧底部相切，平台表面与圆轨道都光滑，一质量为3kg的B球静止在平台上．现让一小球A从圆弧左侧与圆心等高处静止释放，A球下滑至平台并与B球发生碰撞．A、B两球可视为质点，g=10m/s²．求：
（1）A球到达圆弧底端时的速度；
（2）如果碰后两球分别落在M与N点，则A球的可能质量．

Answer 1

分析：（1）小球A从光滑圆弧上滚下来，只有重力做功，根据机械能守恒定律列式求解；
（2）小球A与B碰撞过程中系统动量守恒，碰撞后A、B两球的速度大小都可以通过平抛运动的位移公式求解出，然后分A球向左和向右两种情况分析讨论，其中A球向左又分为A球落在M与落在N两种情况讨论．

解答：解：（1）根据机械能守恒 mgR=

1

2

mv2
代入数据得   v=5m/s                        
即A球到达圆弧底端时的速度为5m/s；
（2）①若碰后两球都向右运动，据平抛运动h=

1

2

gt2，得t=1s           
由x=v₀t，得v_A1=1m/s，v_B1=4m/s       
由动量守恒    m_Av_A=m_Av_A1+m_Bv_B1
得    m_A=3kg                               
碰前总动能EK1=

1

2

×3×52
碰后总动能EK1′ =

1

2

×3×12+

1

2

×3×42
因为E_K1＞E_K1′其解成立 
②若碰后A球向左运动，B球向右运动，则可能有：
v_A2=-1m/s         v_B2=4m/s
由动量守恒    m_Av_A=m_Av_A2+m_Bv_B2
得    m_A=2kg                                  
碰前总动能EK2=

1

2

×2×52
碰后总动能EK2′ =

1

2

×2×(-1)2+

1

2

×3×42
因为E_K2=E_K2′其解成立                     
③若碰后A球向左运动，B球向右运动，则可能有：
v_A2=-4m/s         v_B2=1m/s
由动量守恒    m_Av_A=m_Av_A3+m_Bv_B3
得    m_A=

1

3

kg                                  
碰前总动能EK3=

1

2

×

1

3

×52
碰后总动能EK3′ =

1

2

×

1

3

×(-4)2+

1

2

×3×12
因为E_K3=E_K3′其解成立 
故A球的质量可能为3Kg、2kg或

1

3

Kg．

点评：本题要根据机械能守恒定律、动量守恒定律和平抛运动的相关公式列式分析；其中A、B两球碰撞后落地点要分为三种情况来分析讨论，特别容易漏掉第三种情况．