Question

10．如图所示，平行导轨PP′、QQ′均由倾斜和水平两部分组成，相距为L₁．倾斜部分与水平面夹角为θ，虚线pq为两部分的连接处．质量为m₀、电阻为r的导体杆ef与导轨的摩擦系数均为μ，且满足μ＜tanθ．在虚线pq右侧空间分布有方向竖直磁场Ⅰ，其磁感应强度大小为B₁=B₀cos$\frac{2π}{λ}$x（竖直向下定为磁场的正方向）．式中λ为具有长度单位的常量；x为沿水平轨道向右的位置坐标，并定义pq的x坐标为0．将质量为m、每边电阻均为r、边长为L₂的正方形金属框abcd用绝缘柔线悬挂于天花板上a′和b′处，使ab边保持水平，并用细导线将a、b两点与导轨的两端点Q、P相连，金属框处于垂直与向里设置匀强磁场Ⅱ垂直．将ef从倾斜轨道上距水平轨道高为h处由静止释放，为保持导体杆ef能在水平轨道上作匀速运动，现给导体杆施加一x方向的水平作用力F．设ef经过pq时没有因速度方向改变产生能量损失，也不计其余电阻和细导线对a、b两点的作用力，金属框始终保持静止．求：
（1）导体棒ef刚进入磁场时，线框ab边的电压；
（2）磁场Ⅱ的磁感应强度B₂应满足的条件；
（3）ef在水平轨道上前进距离λ的过程中，力F所作的功．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出导体棒ef刚进入磁场时的速度，结合切割产生的感应电动势公式，根据串并联电路的特点得出外电阻，运用欧姆定律求出线框ab边的电压；
（2）根据闭合电路欧姆定律得出通过ab杆和cd杆的电流，抓住线框所受的安培力不超过其重力求出磁场Ⅱ的磁感应强度B₂应满足的条件；
（3）根据切割产生的感应电动势公式得出对应的感应电动势大小，电动势变化为余弦曲线，求出有效值，前进λ刚好对应电源e变化一个周期t=$\frac{λ}{v}$，通过电功的公式求出电源在此过程中做功的大小，结合摩擦力做功，运用能量守恒求出外力F做功的大小．

解答 解：（1）设刚进入磁场I时杆的速度为v，有：$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2gh（1-μcotθ）}$，
此时杆的感应电动势为E=B₀L₁v，
abcd框相对于ab两点的电阻为${R}_{外}=\frac{3{r}^{2}}{r+3r}=\frac{3r}{4}$，
ab边的电压为${U}_{ab}=\frac{E}{r+{R}_{外}}{R}_{外}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7}$．
（2）刚进入时，流过ab杆和cd杆的电流分别为${I}_{1}=\frac{{U}_{ab}}{r}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
${I}_{2}=\frac{{U}_{ab}}{3r}$=$\frac{{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
线框保持静止，其受到的安培力必不超过其重力，即
B₂（I₁+I₂）L₂≤mg，
解得B₂≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}$．
（3）当杆ef在水平轨道上x处时，有x=vt
对应的感应电动势大小为e=${B}_{1}{L}_{1}v={B}_{0}cos（\frac{2π}{λ}x）{L}_{1}v$=${B}_{0}{L}_{1}vcos（\frac{2π}{λ}vt）$．
在前进λ为的过程中，其电动势变化为余弦曲线，对应有效值为
$E=\frac{{B}_{0}{L}_{1}v}{\sqrt{2}}$=${B}_{0}{L}_{1}\sqrt{gh（1-μcotθ）}$，
前进λ刚好对应电源e变化一个周期t=$\frac{λ}{v}$，故有电源在此过程中做功为${W}_{e}=\frac{{E}^{2}}{r+\frac{3r}{4}}t$=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
摩擦力做功为Q_f=μm₀gλ，
力F做的功等于摩擦产生的热与此过程中电源对外做的功，即W_F=Q_f+W_e=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$+μm₀gλ．
答：（1）导体棒ef刚进入磁场时，线框ab边的电压为$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7}$；
（2）磁场Ⅱ的磁感应强度B₂应满足的条件为B₂≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}$；
（3）ef在水平轨道上前进距离λ的过程中，力F所作的功为$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$+μm₀gλ．

点评 本题考查了电磁感应与电路和力学、能量的综合运用，要注意明确电路结构，正确做出受力分析，再通过功能关系进行分析即可，注意第三问产生的感应电动势变化为余弦曲线，可以结合交变电流知识求解．