Question

如图7-7-16所示，光滑圆管轨道ABC，其中AB部分平直，BC部分是处于竖直平面的、半径为R的半圆.圆管截面的半径r＜＜R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀从A点射入圆管.问：

图7-7-16

(1)若要小球能从C端出来，初速度v₀需多大？

(2)在小球从C端出来的瞬间，对管壁作用力有哪几种典型情况？初速度v₀各应满足什么条件？

Answer 1

解析：小球在细圆管内的运动过程中，因管道光滑，不受摩擦力作用，所受轨道的弹力与运动方向垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒.

(1)要使小球能从C端出来，则小球到达C点时速度v_c应不为零.对小球从A至C运动过程应用机械能守恒定律得

    mv_c²+mg·2R=mv₀²            ①

    因v_C≠0，有mg·2R＜mv₀²

    故初速度须满足v₀＞        ②

(2)小球经过C点受重力mg和细圆管的弹力F_N，根据牛顿第二定律得

    F_N+mg=                   ③

    由①③式得F_N=-5mg        ④

    讨论④式可得：

    a.若F_N=0，则v₀=,这时小球与细管无相互作用力；

    b.若F_N＞0,则v₀＞，即当初速度v₀＞时，小球受细管上侧壁的竖直向下的弹力(压力)，由牛顿第三定律知，小球对细管上侧壁有竖直向上的弹力；

    c.F_N＜0(即小球要受到下侧壁竖直向上的支持力)，则结合②式需满足＜v₀＜，这时小球对下侧壁有竖直向下的压力.

答案：(1)v₀＞

(2)当v₀=时，小球与细管无相互作用力;

    当v₀＞时,小球对细管上侧壁有竖直向上的弹力;

    当＜v₀＜时，小球对下侧壁有竖直向下的压力