Question

17．如图所示，串联阻值为R的闭合电路中，面积为S的正方形区域abcd存在一个方向垂直纸面向外、磁感应强度均匀增加且变化率为k的匀强磁场B_t，abcd的电阻值也为R，其他电阻不计．电阻两端又向右并联一个平行板电容器．在靠近M板处由静止释放一质量为m、电量为+q的带电粒子（不计重力），经过N板的小孔P进入一个垂直纸面向内、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，已知该圆形匀强磁场的半径为r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mSk}{q}}$．求：
（1）电容器获得的电压；
（2）带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度；
（3）带电粒子在圆形磁场运动时的轨道半径及在磁场运动时的时间．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律可求得闭合电路的电动势，由闭合电路的欧姆定律可求得电路中的电流，则可求得电阻两端的电压，由电容器的连接可求得电容器的电压；
（2）带电粒子在电容器中做匀加速直线运动，由动能定理可求得粒子射入磁场时的速度；
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得粒子转动半径；由几何关系可求得粒子的偏向角，然后结合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出时间．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，闭合电路的电动势为E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$=Sk；
根据闭合电路的欧姆定律，闭合电路的电流为I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{Sk}{2R}$
电阻获得的电压U₂=IR=$\frac{1}{2}$Sk
因电容器与电阻是并联的，故电容器获得的电压U=U₂=$\frac{1}{2}$Sk；
（2）带电粒子在电容器中受到电场力作用而做匀加速直线运动，根据动能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
得到带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度为v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）带电粒子进入圆形匀强磁场后，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R′}$
得带电粒子在圆形匀强磁场运动的半径为R′=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$
又圆形磁场的半径r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$，即R′=r
根据左手定则，带电粒子在圆形磁场向右转过$\frac{1}{4}$的圆周（如右图所示），故它离开磁场时的偏转角为90°．
粒子在磁场中运动的周期：$\left.\begin{array}{l}{T=\frac{2π{R}_{1}}{v}=\frac{2πm}{qB}}\end{array}\right.$
所以，粒子在磁场中运动的时间：$\left.\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}}\end{array}\right.$
答：（1）电容器获得的电压是$\frac{1}{2}$Sk；
（2）带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度是$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）带电粒子在圆形磁场运动时的轨道半径是r，在磁场运动时的时间是$\frac{πm}{qB}$．

点评 带电粒子在电磁场中的运动，要注意灵活选择物理规律，电场中一般由动能定理或类平抛的规律求解，而磁场中粒子做圆周运动，应由向心力公式及几何关系求解．