Question

质量为0.5kg的小球，以v₀=20m?s^-1的初速度竖直向上从地面射出，它只上升了高度h=18m，如果小球在运动中所受到的空气阻力大小不变，并取g=10m/s²，那么小球在什么位置时重力势能和动能相等？

Answer 1

分析：根据动能定理来确定空气受到的阻力，再由动能与势能相等，结合动能定理，即可求出重力势能和动能相等的位置．

解答：解：因为阻力存在，小球在运动过程中机械能不断减少，如图，如果在上升阶段中位于A处时球的动能和势能相等，那么到下落阶段球运动到A处，其动能就一定会小于势能，因此，与无阻力的竖直上抛运动不同，这里球在上升中的动能和势能相等的点A与球在下降中的动能和势能相等的点B并不在同一点．
设小球在运动中受到空气阻力的大小为f，则对于球的上升过程，由动能定理有
-（mg+f）h=0-

1

2

mv²
∴f=

m v 2 0

2h

-mg=

0.5×202

2×18

N-0.5×10N=

5

9

N   
设上升过程中球在A点处动能与势能相等，以h_A表增A点的高度，V_A表示球在A点时的速度，则有
mgh_A=

1

2

mv²
而由动能定理又有
-（mg+f）h_A=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

由上两式可解得
h_A=

m v 2 0

2(2mg+f)

=

0.5×202

2×(2×0.5×10× 5 9 )

m=9.47m 
又设下落过程中球在B点处动能与势能相等，以h_B表示B点的高度，v_B表示球在B点时的速度，
则有         mgh_B=

1

2

m

v

2 B

对于球自最高点下落至B点的过程，由动能定理有
mg（h-h_B）-f（h-h_B）=

1

2

mv²
由上两式可解得
h_B=

(mg-f)h

2mg-f

=

(0.5×10- 5 9 )×18

2×0.5×10- 5 9

m=8.47m      
 答：小球在8.47m处的位置时重力势能和动能相等．

点评：考查动能定理的应用，掌握重力势能的参考平面的选择．同时注意做功的正负值．