Question

11．在木板AF的CD间竖直固定一电阻为1Ω、边长为0.8m的正方形线框，总质量M=100g，木板静止放在光滑的水平面上，在木板AC段上方有场强E=2N/C的匀强电场，在CD段上方有磁感应强度B=1.25T的匀强磁场．CD段的长度是L₁=0.8m，DF段的长度L₂=0.7m，一质量m=50g、电荷量q=+0.1C的小物块，自A点静止释放运动到D点时，木板才开始运动．当线圈穿出磁场时小物块恰好滑到木板最右端且与木板保持相对静止．已知AC段光滑，CDF段动摩擦因数μ=0.5，线框所在平面与小物块的速度方向不在同一条直线上．电场和磁场不随木板移动，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）AC段的长度；
（2）小物块穿过磁场后在木板上相对木板滑到的时间；
（3）线框穿出磁场的过程中通过线框截面的电荷量及产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）通过小物块在CD段上运动，木板不动得到摩擦力为零，进而由牛顿第二定律通过洛伦兹力得到小物块的速度，然后再由小物块在AC段上只有电场力做功，由动能定理求解；
（2）通过受力分析得到小物块在DF上运动时的加速度，然后由匀变速位移公式求得运动时间；
（3）电荷量通过平均电流、平均电动势，进而由磁通量的变化量求解，焦耳热通过能量守恒求得．

解答 解：（1）小物块自A点静止释放运动到D点时，木板才开始运动，故在小物块从A到D过程中，木板在水平方向上的合外力为零，即小物块对木板的摩擦力为零，所以，小物块在CD段洛伦兹力等于重力，即mg=qvB，所以，$v=\frac{mg}{qB}=4m/s$；
那么，小物块在CD上做匀速直线运动，又有小物块在AC上的合外力为电场力，故对小物块在AC段上应用动能定理可得：$qE{L}_{AC}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，${L}_{AC}=\frac{m{v}^{2}}{2qE}=2m$；
（2）小物块穿过磁场时的速度为v=4m/s，之后受到的合外力为F=μmg，所以，小物块做加速度a=μg=5m/s²的匀减速运动，
当线圈穿出磁场时小物块恰好滑到木板最右端且与木板保持相对静止，那么小物块的位移为L₁+L₂，运动时间$t≤\frac{v}{a}=0.8s$；
所以，由匀变速运动位移公式可得：${L}_{1}+{L}_{2}=vt-\frac{1}{2}a{t}^{2}$，即$1.5=4t-\frac{5}{2}{t}^{2}$，所以，t=0.6s；
（3）由法拉第电磁感应定律可得：线圈的电动势$E=\frac{△Φ}{△t}$，故由闭合电路欧姆定律可得：$I=\frac{E}{R}=\frac{△Φ}{R△t}$，所以，线框穿出磁场的过程中通过线框截面的电荷量$q=I△t=\frac{△Φ}{R}=\frac{BS}{R}=\frac{1.25×0．{8}^{2}}{1}C=0.8C$；
由（2）可知，当线圈穿出磁场时小物块恰好滑到木板最右端且与木板保持相对静止，这时的速度v′=v-at=1m/s；
小物块在DF上的运动过程中，对小物块和木板只有摩擦力和安培力做功，又有克服安培力做的功等于线框产生的焦耳热，故由能量守恒定律可得：
$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}-μmg{L}_{2}$=$\frac{1}{2}×0.05×{4}^{2}-\frac{1}{2}×0.15×{1}^{2}-0.5×0.05×10×0.7（J）=0.15J$；
答：（1）AC段的长度为2m；
（2）小物块穿过磁场后在木板上相对木板滑到的时间为0.6s；
（3）线框穿出磁场的过程中通过线框截面的电荷量为0.8C，产生的焦耳热为0.15J．

点评 闭合电路切割磁感线的问题中，一般通过磁通量的变化求得平均电动势，进而由欧姆定律求得平均电流，即可求得电量．