Question

12．如图所示，固定在地面上的光滑轨道AB、CD均是半径为R的四分之一圆弧．一质量为m、上表面长也为R的小车静止在光滑水平面EF上，小车上表面与轨道AB、CD的末端B、C相切．一质量为m的物体（大小不计）从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车在摩擦力的作用下向右运动．当小车右端与壁CF接触前的瞬间，物体m恰好滑动到小车右端相对于小车静止，同时小车与CF相碰后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上轨道CD．求：
（1）物体滑上轨道CD前的瞬间的速率；
（2）水平面EF的长度；
（3）当物体再从轨道CD滑下并滑上小车后，如果小车与壁BE相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端多远？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出物体从A点滑到B点时的速率，根据动量守恒定律求出滑上EF前的瞬时速率．
（2）对物体运用动能定理、对系统运用能量守恒定律，联立求出水平面EF的长度．
（3）根据动量守恒定律求出AB的共同速度，对系统运用能量守恒定律求出两者速度相同时，之间的相对距离，小车停止后，物体做匀减速直线运动，再根据动能定理求出匀减速直线运动的位移，从而得出最终物体在小车上滑行的距离．

解答 解：（1）设物体从A滑至B时速率为v₀，根据机械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$，
物体与小车相互作用过程中，设共同速度为v₁，系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=2mv₁，
解得，物体滑上轨道CD前瞬间的速率：v₁=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）设二者之间的摩擦力为f，根据动能定理，
对物体有：-fs_EF=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
对小车有：f（s_EF-R）=$\frac{1}{2}$mv²₁，
解得：f=$\frac{1}{2}$mg，s_EF=1.5R．
（3）设物体从CD滑下后与小车达到相对静止状态，共同速度为v₂，相对小车滑行的距离为s₁，小车停后物体做匀减速运动，相对小车滑行距离为s₂，以向右为正方向，根据动量守恒有：
mv₁=2mv₂，
根据能量守恒有：fs₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$×2mv₂²，
对物体根据动能定理有：fs₂=$\frac{1}{8}$mv₂²，
解得：s₁=0.25R，s₂=0.375R．
答：（1）物体滑上轨道CD前的瞬间的速率为$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）水平面EF的长度为1.5R；
（3）Q点距小车右端0.375R处．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理，综合性较强，涉及的过程较多，关键是合理地选择研究对象和研究过程，选择合适的规律进行求解．