Question

13．如图所示，在垂直纸面水平向外的匀强磁场和竖直方向的匀强电场中，有倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面，有一质量为m，带电量为+q的小滑块，静止在斜面顶端时对斜面的压力恰好为零，已知磁场的磁感应强度为B．
（1）求匀强电场的场强E；
（2）如果迅速把电场方向反向，求小滑块能在斜面上连续滑行的最远距离L；
（3）如果在（2）中小滑块滑行至最远处的瞬间再次迅速把电场方向反向，求此后小滑块离斜面最远距离d．

Answer 1

分析 （1）当电场竖直向上时，小球对斜面无压力，可知电场力和重力大小相等；根据平衡条件列式求解电场强度；
（2）当电场竖直向下时，小球受到向下的力为2mg；当小球恰好离开斜面时，在垂直于斜面的方向上合力为零，由此可求出此时的速度；在此过程中，电势能和重力势能转化为动能，由动能定理即可求出小球下滑的距离；
（3）再次迅速把电场方向反向，小球受重力和电场力平衡，洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动，离开斜面的最远距离等于直径，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）当电场竖直向上时，小球对斜面无压力，故有：qE=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$
（2）当小球恰好离开斜面时，对小球受力分析，受竖直向下的重力、电场力和垂直于斜面向上的洛伦兹力，此时在垂直于斜面方向上合外力为零，则有：（qE+mg）cosθ=qvB
由动能定理得：（qE+mg）sinθ•x=$\frac{1}{2}$mv²
联立解得：v=$\frac{2mgcosθ}{qB}$
$x=\frac{{{m^2}gco{s^2}θ}}{{{q^2}{B^2}sinθ}}$
（3）小滑块滑行至最远处的瞬间再次迅速把电场方向反向，小球做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{{m\frac{2mgcosθ}{qB}}}{qB}=\frac{{2{m^2}gcosθ}}{{{q^2}{B^2}}}$
故离开斜面的最远距离为：d=2R=$\frac{{4{m^2}gcosθ}}{{{q^2}{B^2}}}$
答：（1）匀强电场的场强E为$\frac{mg}{q}$；
（2）如果迅速把电场方向反向，小滑块能在斜面上连续滑行的最远距离L为$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$；
（3）如果在（2）中小滑块滑行至最远处的瞬间再次迅速把电场方向反向，此后小滑块离斜面最远距离d为$\frac{4{m}^{2}gcosθ}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 该题考察了带电物体在复合场中的运动情况，解决此类问题要求我们要对带电物体进行正确的受力分析，要注意找出当小球离开斜面时的受力情况是解决该题的关键；在运动学中，只牵扯到位移和速度问题的往往用能量解决；如果牵扯到时间，往往应用牛顿运动定律或动量定理来解决．