Question

7．如图所示，在光滑的水平面放置一个质量为m₀=1.2kg的π型刚性金属导轨ABCD，两平行导轨AB和CD间距离为L=0.4m，质量为m=0.6kg的金属杆MN与导轨间的动摩擦因数为μ=0.2，图中虚线（与导轨垂直）的右侧有范围足够大竖直向下的匀强磁场，碰感应强度B=0.5T，杆MN初始时位于虚线处，受到与导轨平行向右的拉力F作用，由静止开始做匀加速运动，运动到t₁=1s是拉力F的大小为F₁=4.2N．BC边最初与虚线相距X₀=2m，运动中电路接触良好，BC边的电阻R=0.1Ω，其余部分电阻均不计，MN始终与导轨垂直，不考虑自感．取g=10m/s²．求：
（1）运动t₁=1s时杆MN与边BC间的距离是多少？
（2）BC边刚好进入磁场时系统动能的增加率$\frac{△{E}_{t}}{△t}$=？

Answer 1

分析 （1）先对MN，由牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，求出加速度，再对导轨，由牛顿第二定律求出加速度，运用运动学位移时间公式分别求出MN与导轨的位移，由几何知识求杆MN与边BC间的距离．
（2）根据动能定理可知系统动能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$等于合外力做功的瞬时功率．先由位移公式求出BC进入磁场的用时，由速度公式求出此时MN的速度，由上题结果求出拉力大小．再对导轨研究，得到BC刚进入磁场时产生的感应电动势，求得回路总的电动势，求得导轨受到的合外力．可得到MN与导轨合外力做功功率，即为所求解．

解答 解：（1）运动t₁=1s时杆MN受到的安培力 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
对杆，由牛顿第二定律得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma₁ ①
而 v=a₁t ②
联立得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{a}_{1}t}{R}$=ma₁ ③
将t₁=1s，F₁=4.2N，B=0.5T，L=0.4m，m=0.6kg代入得 a₁=3m/s²；
对导轨，由牛顿第二定律得：a₂=$\frac{μmg}{{m}_{0}}$=1m/s²；
在t₁=1s杆MN和导轨的位移分别为
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=1.5m
x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=0.5m
故t₁=1s时杆MN与边BC间的距离是 x=x₀+x₁-x₂=3m
（2）设BC经时间t₂进磁场．则 x₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，得 t₂=2s
此时杆的速度 v₁=a₁t₂=6m/s
导轨的速度 v₂=a₂t₂=2m/s
将v₁=6m/s代入③得 拉力 F₂=5.4N
BC进入磁场时，BC产生的感应电动势E₂与杆MN产生的感应电动势E₁反向，回路总电动势 E=E₂-E₁=BL（v₂-v₁）=0.8V
感应电流 I=$\frac{E}{R}$=8A
杆和导轨所受的安培力大小 F_安=BIL=1.6N，它们之间的摩擦力大小 f=μmg=1.2N
故此时MN的合力 F_合1=F₂-F_安-f=2.6N
BC的合力 F_合2=F_安+f=2.8N
由于两个合力与速度同向，则由动能定理得：P₁△t+P₂△t=△E
则得 $\frac{△E}{△t}$=P₁+P₂=F_合1v₁+F_合2v₂=21.2W
答：（1）运动t₁=1s时杆MN与边BC间的距离是3m．（2）BC刚好进入磁场时，系统动能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$为21.2W．

点评 解决本题的关键要正确棒与导轨的受力情况，结合运动情况，由牛顿第二定律和运动学公式结合解答，要注意动能的变化率实质等于合力的功率．