Question

9．如图，坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界线，图中虚线为磁场区域的右边界．现有一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标（-l，0）处，以初速度v₀沿x轴正方向开始运动，且己知l=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}^2}}{qE}$（重力不计）．试求：
（1）带电粒子进入磁场时的速度大小
（2）若要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件．并求出满足上述条件下，粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中受电场力作用产生加速度，根据题意知粒子在电场中做类平抛运动，利用运动的合成与分解的方法处理类平抛问题，求出粒子进入磁场时的速度；
（2）画出粒子在磁场中运动临界条件时的轨迹，再根据洛伦兹力提供向心力和轨迹的几何知识求解磁场宽度应该满足的条件，根据粒子做圆周运动的周期公式与粒子转过的圆心角求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：l=v₀t，
竖直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，
v=2v₀，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，
则：θ=60°；
（2）粒子进入磁场后在洛仑兹力作用下做圆周运动，粒子恰好离开右侧边界时运动轨迹如图所示：

由几何知识得：r+rcos30°=d，
解得：d=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，牛顿第二定律得：
qvB=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
则：d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$，若要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，
磁场的宽度d应满足的条件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$；
在粒子轨道半径一定时，粒子运动轨迹对应的弦长越长，粒子转过的圆心角越大，
粒子的运动时间最长，当d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$时，粒子运动时间最长，转过的圆心角：α=150°，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的最长运动时间：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{150°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{6qB}$；
答：（1）带电粒子进入磁场时的速度大小为2v₀．
（2）若要使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{5πm}{6qB}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强电场中做类平抛运动和在匀强磁场中做匀速圆周运动，在电场中掌握类平抛问题的处理方法，在磁场中运动要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了