Question

7．如图所示，在真空区域的竖直平面内有一直角坐标系，x轴水平．坐标系的第一象限有沿y轴正向的匀强电场，场强大小为E₁，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．同时还有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E₂，且E₁=2E₂．现有一个可视为质点的质量为m，带电量为q的带负电粒子，以平行于x轴正向的初速度从坐标轴的P₁点射入第一象限，然后从x轴上的P₂点进入第四象限，粒子进入第四象限后恰好能做圆周运动．已知OP₁=OP₂=L，重力加速度为g，求：
（1）微粒射入的初速度；
（2）粒子进入第四象限后做圆周运动的半径；
（3）粒子运动到最低点时刚好与另一个悬浮的可视为质点的静止粒子相碰并粘在一起，且继续做圆周运动，并刚好垂直于x轴进入第一象限．不计粒子间的静电力作用，粒子的重力不能忽略，求被碰粒子的质量．

Answer 1

分析 粒子进入第四象限后做匀速圆周运动，则qE₂=mg，微粒从P₁到P₂做类平抛运动，根据类平抛运动规律求解；
在第四象限，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列方程求半径；
根据彭厚粒子能做匀速圆周运动求出碰后速度表达式，根据动量守恒求出碰前速度与碰后速度的关系，再根据重力与电场力平衡求出质量；

解答 解：（1）粒子进入第四象限后做匀速圆周运动，则qE₂=mg
微粒从P₁到P₂做类平抛运动，E₁=2E₂
竖直方向：a=$\frac{q{E}_{1}+mg}{m}$=3g
运动时间：t₁=$\sqrt{\frac{2O{P}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{3g}}$
微粒射入的初速度v₀=$\frac{O{P}_{2}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）到达P₂点时沿y轴负方向的分速度v_y=at₁=$\sqrt{6gL}$
进入第四象限时的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$
在第四象限，洛伦兹力提供向心力，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$
（3）被碰粒子在第四象限处于静止，所受的电场力与重力平衡，粒子带负电，设被碰粒子的质量为m₁，电量q₁，则m₁g=q₁E₂
运动粒子与静止的粒子相碰，设碰后的共同速度为v₁，根据动量守恒：
mv=（m+m₁）v₁
粘合后能做匀速圆周运动（q+q₁）v₁B=（m+m₁）$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
由几何关系$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{R-{R}_{1}}{R}$
解得：m₁=（$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$-1）$\frac{q{E}_{2}}{g}$=$\frac{（\sqrt{5}+1）m}{4}$
答：（1）微粒射入的初速度为$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$；
（2）粒子进入第四象限后做圆周运动的半径$\frac{m}{qB}$$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$；
（3）粒子运动到最低点时刚好与另一个悬浮的可视为质点的静止粒子相碰并粘在一起，且继续做圆周运动，并刚好垂直于x轴进入第一象限．不计粒子间的静电力作用，粒子的重力不能忽略，被碰粒子的质量$\frac{（\sqrt{5}+1）m}{4}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．