题目内容

（2008?昆明模拟）如图所示，ABC是半径为R的大型光滑半圆柱面轨道，运动员乙脚踏一滑板车静止于轨道最低点，运动员甲脚踏一滑板车背对乙从轨道最高点A由静止开始下滑，甲到达最低点的瞬间被运动员乙抓住，之后两人一起以相同的速度共同沿圆柱面上滑，已知两运动员连同自己的小车总质量均为m．
（1）求两人共同沿圆柱面上滑的最大高度；
（2）求当两人再次回到圆柱面最低点时，他们对轨道压力的大小；
（3）当两人再次回到圆柱面最低点的瞬间乙用力将甲推出，若乙将甲推出后自身恰能到达轨道最高点C，求乙将甲推出过程所做的功．
分析：根据甲下滑过程机械能守恒，甲乙碰撞瞬间，水平方向动量守恒，可求甲乙共同上滑的速度，根据甲乙一起上滑过程机械能守恒列式，可求二人共同上滑的最大高度；
甲乙二人组成的系统一起滑到过程，机械能守恒，故再次下滑到最低点时速度不变，根据牛顿第二定律可求解对轨道的压力；
根据动量守恒和功能关系联立列式，可求乙将甲推出过程所做的功．
解答：解：（1）设甲下滑到最低点时速度大小为v0，甲、乙获得的共同速度大小为v1，甲下滑过程机械能守恒，有：mgR=
1
2
m
v
2
0
①
甲、乙获得共同速度的过程，甲、乙组成的系统水平方向动量守恒：
mv0=2mv1
甲、乙一起上滑的过程机械能守恒，故：2mgh=
1
2
(2m)
v
2
1

联立各式，解得：h=
R
4

（2）甲、乙再次回到最低点时，他们的速度仍为v1，根据牛顿第二定律：N-2mg=2m
v
2
1
R

故解得：N=3mg，
根据牛顿第三定律可得，对轨道的压力等于轨道对人的支持力，即N′=N=3mg
（3）由于乙将甲推出后自身恰能到达最高点C，则乙将甲推出后的速度大小应为v0，设甲被乙推出后的速度为v2，由甲、乙组成的系统水平方向动量守恒，得：2mv1=mv2-mv0
由功能关系得，乙将甲推出过程所做的功：W=
1
2
m
v
2
2
+
1
2
m
v
2
0
-
1
2
(2m)
v
2
1

联立上述各式，解得：W=
9
2
mgR
答：（1）两人共同沿圆柱面上滑的最大高度为
R
4
； 
（2）当两人再次回到圆柱面最低点时，他们对轨道压力的大小为3mg；
（3）乙将甲推出过程所做的功为
9
2
mgR．
点评：本题考查动量守恒和机械能守恒的应用，综合性较强，要求有一定的综合分析能力，难度适中．
练习册系列答案
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