Question

（2008?昆明模拟）如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向水平向右，直角坐标系x0y的原点O处有一能向各个方向发射带电粒子（不计重力）的放射源、当带电粒子以某一初速度沿y轴正方向射入该区域时，恰好能沿y轴做匀速直线运动．若撤去磁场只保留电场，粒子以相同的速度从O点射入，经过一段时间后通过第一象限的P点，P点坐标为（L，

3

L）．若撤去电场，只保留磁场，让粒子以相同速率从O点射入，求：
（1）粒子在磁场中运动的半径；
（2）若要使粒子射出后仍能通过P点，求粒子从O点射出时的速度方向．

Answer 1

分析：（1）电磁场同时存在时，由粒子做匀速直线运动，电场力等于洛伦兹力，列式求解出速度；只有电场时，做抛物线运动，根据分位移公式列式；仅在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力列式，联立求解即可；
（2）圆心在线段OP中垂线上，画出可能的两个运动轨迹，并结合几何关系列式计算速度方向．

解答：解：（1）电磁场同时存在时，由粒子做匀速直线运动，设入射速度大小为v₀得：
qv₀B=qE…①
撤去磁场后，粒子在电场中做曲线运动，将合运动沿着x、y方向正交分解，根据分位移公式，有

3

L=v0t…②
L=

1

2

×

qE

m

×t2…③
只保留磁场时，粒子在磁场中做圆周运动：
qv0B=m

v 2 0

R

…④
联立以上各式解得：R=

3

2

L…⑤
（2）连接OP，作OP的中垂线交OP于O₃点，若粒子沿v₁方向射出，圆心为O₁，据已知条件有：

.

OO1

=

.

O1P

=R=

3

2

L…⑥

.

OP

=2L

.

OO3

=

.

O3P

=L…⑦
据几何关系有：cos∠O3OO1=

. O3O

. OO1

=

2

3

…⑧
因v₁与

.

OO1

垂直，因此v₁与x轴正方向所成夹角为∠O₃OO₁+30°，即arccos

2

3

+30°…⑨
若粒子沿v₂方向射出，同理可解得：cos∠O3OO2=

. O3O

. OO2

=

2

3

因v₂与

.

OO2

垂直，因此v₂与x轴 正方向 所 成 夹 角 为∠O₃OO₂-30°，即arccos

2

3

-30°…⑩
答：（1）粒子在磁场中运动的半径为

3

2

L；
（2）若要使粒子射出后仍能通过P点，粒子从O点射出时的速度方向与x轴成arccos

2

3

+30°角度斜向上或与x轴成arccos

2

3

-30°角度斜向下．

点评：本题考查了粒子做类似平抛运动和匀速圆周运动的基本规律，画出圆周运动的轨迹并结合几何关系列式分析是关键．