题目内容

9．如图1所示，两根相距为L的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计，一根质量为m、长为L、电阻为R的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为?，棒与导轨的接触良好．导轨左端连有阻值为2R的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连．有n段方向竖直向下、宽度为a、间距为b的匀强磁场（a＞b），磁感应强度为B．金属棒初始位于OO′处，与第一段磁场相距2a．

（1）若金属棒有向右的初速度v0，为使金属棒保持v0一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力，求金属棒进入磁场前拉力F1的大小和进入磁场后拉力F2的大小；
（2）在（1）的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功；
（3）若金属棒初速度为零，现对棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿过各段磁场，发现计算机显示出的电压随时间做周期性变化，如图2所示．从金属棒进入第一段磁场开始计时，求整个过程中导轨左端电阻上产生的热量．

分析 （1）金属棒在进入磁场前，不受安培力作用，匀速运动时，拉力与摩擦力平衡；在进入磁场后，金属棒切割磁感线，产生感应电流，匀速运动时，拉力与摩擦力和安培力平衡．根据平衡条件和电磁感应知识，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的总功．
（3）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律求出热量．

解答 解：（1）当金属棒匀速运动时，
进入磁场前，F1=μmg        
进入磁场后，F2=μmg+F安  
又F安=BIL
$I=\frac{BL{V}_{0}}{3R}$   
解得：${F}_{2}=μmg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$
 （2）金属棒在磁场外运动过程中，有：
W1=μmg[2a+（n-1）b]
穿过 n 段磁场过程中，W2=nF2a
故拉力做功为：W=W1+W2=μmg[2a+（n-1）b]+nF2a=$μmg[（n+2）a+（n-1）b]+\frac{n\;{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$        
（3）金属棒进入第一段磁场前，$（F-μmg）•2a=\frac{1}{2}m\;{v}_{1}^{2}$
穿过第一段磁场过程中，Fa-μmga-E电1=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
金属棒从穿出第一段磁场到进入第二段磁场的过程中，$（F-μmg）b=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$          
得到，E电1=（F-μmg）（a+b）
从OO′开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中电路中产生总热量E电=n（F-μmg）（a+b）
由于金属棒与电阻的感应电流瞬时相等，根据焦耳定律Q=I2Rt，Q∝R
整个过程中电阻上产生的总热量为：$Q=n\frac{2R}{3R}{E}_{电}$
解得：$Q=\frac{2}{3}n（F-μmg）（a+b）$
答：（1）金属棒不在磁场中时受到的拉力F1=mg，在磁场中时受到的拉力F2的大小为$μmg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$；
    （2）拉力所做的功为$μmg[（n+2）a+（n-1）b]+\frac{n\;{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$；   
    （3）金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中导轨左端电阻上产生的热量为$\frac{2}{3}n（F-μmg）（a+b）$

点评 本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．

练习册系列答案
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