题目内容
图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R1=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．计算结果保留小数点后一位数字．试求
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是多少；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围；
（3）小球最终停留点与起点A的距离．
【答案】分析：（1）小球恰能通过第一圆形轨道时，在轨道的最高点时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出小球经过最高点时的速度．对于小球从A点到第一圆形轨道最高点过程，运用动能定理列式，求解AB间距L1．
（2）要保证小球不脱离轨道，有两种情况：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，与上题相似，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，根据动能定理求解半径R2．
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度等于R2，即上升到与圆心等高处，根据动能定理求解半径R2．
为保证圆形轨道间不相互重叠，根据几何知识知：R2最大值应满足
=L2+
，解得R2．即可得到半径R2的可变范围；
（3）根据动能定理求解小球最终停留点与起始点A的距离．
解答：解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1=
=
m/s
根据动能定理得
-μmgL1-2mgR1=
mv12-
mv2
解得 L1=18.5m
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v2，应满足
mg=m
-μmg（L1+L）-2mgR2=
mv22-
mv2
由上两式解得：R2=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R2，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L1+L）-mgR2=0-
mv2
解得：R2=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R2最大值应满足：
=L2+
，
解得 R2=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m
（3）当0＜R2≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-
mv2
解得 L′=36.0m
当1.0m≤R2≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
L″=L′-2（L′-L1-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是18.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围为 0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m；
（3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．
点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．
（2）要保证小球不脱离轨道，有两种情况：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，与上题相似，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，根据动能定理求解半径R2．
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度等于R2，即上升到与圆心等高处，根据动能定理求解半径R2．
为保证圆形轨道间不相互重叠，根据几何知识知：R2最大值应满足
=L2+
，解得R2．即可得到半径R2的可变范围；（3）根据动能定理求解小球最终停留点与起始点A的距离．
解答：解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1=
=
m/s根据动能定理得
-μmgL1-2mgR1=
mv12-
mv2解得 L1=18.5m
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v2，应满足
mg=m
-μmg（L1+L）-2mgR2=
mv22-
mv2由上两式解得：R2=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R2，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L1+L）-mgR2=0-
mv2解得：R2=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R2最大值应满足：
=L2+
，解得 R2=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m
（3）当0＜R2≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-
mv2 解得 L′=36.0m
当1.0m≤R2≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
L″=L′-2（L′-L1-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是18.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围为 0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m；
（3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．
点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．
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