Question

过山车是游乐场中常见的设施。图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径＝2.0 m、＝1.4 m。一个质量为m＝1. 0 kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以＝12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距=6. 0 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数=0. 2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。

Answer 1

F=10.0 N    L=12.5 m    26.0 m。

解析:

（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为，根据动能定理

  ①

小球在最高点受到重力和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

  ②

由①②得F=10.0 N   ③

（2）设小球在第二个圆轨道最高点的速度为，由题意

  ④

   ⑤

由④⑤得L=12.5 m    ⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种临界情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为，应满足

   ⑦

   ⑧

由⑥⑦⑧得=0.4 m

Ⅱ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为，根据动能定理

解得=1.0 m

为了保证圆轨道不重叠。最大值应满足

解得=27.9 m

综合I、Ⅱ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或

当1时，小球最终停留点与起点A的距离为，则

36. 0 m

当时，小球最终停留点与起点A的距离为，则

26.0 m。