Question

14．如图所示空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个足够长的区域，各边界面相互平行．其中Ⅰ、Ⅱ区域存在匀强电场：E₁=1.0×10⁴V/m，方向垂直边界面竖直向上；E_Ⅱ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×10⁵V/m，方向水平向右，Ⅲ区域磁感应强度B=5.0T，方向垂直纸面向里．三个区域宽度分别为d₁=5.0m、d₂=4.0m、d₃=10m．一质量m=1.0×10^-8kg、电荷量q=1.6×10^-6C的粒子从O点由静止释放，粒子重力忽略不计．求：
（1）粒子离开区域Ⅰ时的速度
（2）粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角
（3）粒子在Ⅲ区域中作圆周运动的周期和离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场Ⅰ中加速，由动能定理列方程求粒子离开区域Ⅰ时的速度大小；
（2）粒子在区域Ⅱ中竖直方向匀速直线运动，水平方向匀加速直线运动，即粒子做类平抛运动，由类平抛运动规律求解；
（3）粒子在Ⅲ区域做匀速圆周运动，周期为T=$\frac{2πm}{qB}$．画出运动轨迹，然后由几何关系求出离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角．

解答 解：（1）由动能定理得：$\frac{1}{2}$mv₁²=qE₁d₁ …①
得：v₁=4×10³ m/s…②
（2）粒子在区域Ⅱ做类平抛运动．以水平向右为y轴，竖直向上为x轴．设粒子进入区域Ⅲ时速度与边界的夹角为θ，则有：
 tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$…③
又 v_x=v₁，v_y=at…④
粒子的加速度为：a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$…⑤
运动时间为：t=$\frac{{d}_{2}}{{v}_{1}}$
把数值代入得：θ=30°…⑥
（3）粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{π}{4}$×10^-2 s      
粒子进入磁场时的速度为：v₂=2v₁…⑦
粒子在磁场中运动的半径为：R=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=10m=d₃
粒子进入磁场区域运动轨迹如图所示，有：
R=$\frac{mv}{qB}$=10 m   
由几何关系得：
AB=5$\sqrt{3}$m，
CD=（10-5$\sqrt{3}$）m
则有：cosβ=$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$…⑧
所以粒子离开磁场时速度方向与边界的夹角为：
β=arccos$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$
答：（1）粒子离开区域Ⅰ时的速度是4×10³ m/s．
（2）粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角是30°．
（3）粒子在Ⅲ区域中作圆周运动的周期是$\frac{π}{4}$×10^-2 s，离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角是arccos$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$．

点评 粒子在电场中的偏转情况，一定注意化曲为直，即将运动分解为平行于电场的方向与垂直于电场的方向；粒子在磁场中的运动一定要注意找出圆心和半径，进而能正确的应用好几何关系，则可顺利求解．