题目内容

9.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设每个星体的质量均为m,四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,引力常量为G,试求:
(1)星体做匀速圆周运动的轨道半径r;
(2)若观测到星体的半径为R,则该星体对自身表面产生的重力加速度大小(不计其他星球的影响);
(3)求星体做匀速圆周运动的公转周期T.

分析 (1)星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,根据几何关系求出星体匀速圆周运动的轨道半径
(2)根据万有引力等于重力,求出星体表面的重力加速度.
(3)根据万有引力定律和牛顿第二定律求星体做匀速圆周运动的公转周期

解答 解:(1)由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知,星体做匀速圆周运动的轨道半径$r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
(2)由万有引力的定律可知$G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g′$
则星体表面的重力加速度$g′=G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$
(3)星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,由万有引力定律和向心力公式得:
${F}_{有效1}^{\;}=G\frac{mm}{{a}_{\;}^{2}}•cos45°$
${F}_{有效2}^{\;}=\frac{Gmm}{(\sqrt{2}a)_{\;}^{2}}$
${F}_{向}^{\;}=2•{F}_{有1}^{\;}+{F}_{有2}^{\;}$
${F}_{向}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得周期$T=2πa\sqrt{\frac{2a}{(4+\sqrt{2})Gm}}$
答:(1)星体做匀速圆周运动的轨道半径r为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$;
(2)若观测到星体的半径为R,则该星体对自身表面产生的重力加速度大小为$G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$;
(3)求星体做匀速圆周运动的公转周期T为$2πa\sqrt{\frac{2a}{(4+\sqrt{2})Gm}}$.

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力,以及知道在四颗星组成的四星系统中,其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力.

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