Question

如图5-8-12所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物.忽略小圆环的大小.

图5-8-12

（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M.设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.

（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？

Answer 1

解：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大.设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得

Mgh=2mg［-Rsinθ］

解得  h=  （另解h=0舍去）

（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为

a.两小环同时位于大圆环的底端.

b.两小环同时位于大圆环的顶端.

c.两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端.

d.除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称.设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图所示）.对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg

    对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N，两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反Tsinα=Tsinα′  得α=α′，而α+α′=90°，所以α=45°

答案：（1）h=  （2）见解析