Question

20．我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星等构成的卫星通信系统．
（1）若已知地球的平均半径为R₀，自转周期为T₀，地表的重力加速度为g，试求同步卫星的轨道半径R；
（2）有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径R的四分之一，试求该卫星至少每隔多长时间才在同一城市的正上方出现一次．（计算结果只能用题中已知物理量的字母表示）

Answer 1

分析 （1）同步卫星的周期与地球的自转周期相等，根据万有引力提供向心力，结合万有引力等于重力求出同步卫星的轨道半径．
（2）通过万有引力提供向心力求出周期与轨道半径的关系，从而求出低轨道卫星的周期．抓住转过的圆心角关系求出在同一城市的正上方出现的最小时间

解答 解：（1）设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$…①
同步卫星的周期为：T=T₀…②
而在地表面，重力提供向心力，有：$mg=G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}$…③
由①②③式解得：
R=$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）由①式可知T²∝R³，
设低轨道卫星运行的周期为T′，则$\frac{T{′}^{2}}{T′}=\frac{（\frac{R}{4}）^{3}}{{R}^{3}}$
因而$T′=\frac{{T}_{0}}{8}$
设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得：
$\frac{2π}{T′}t=2π+\frac{2π}{{T}_{0}}t$
解得：$t=\frac{{T}_{0}}{7}$，即卫星至少每隔$\frac{{T}_{0}}{7}$时间才在同一地点的正上方出现一次．
答：（1）同步卫星的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）卫星至少每隔$\frac{{T}_{0}}{7}$时间才在同一地点的正上方出现一次．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两大理论，知道同步卫星的周期与地球自转的周期相等．