Question

4．如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BD为半径R=4m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处有一质量m=1kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS=8m/s，已知A点距地面的高度H=10m，B点距地面的高度h=5m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10m/s²，cos53°=0.6，求：
（1）小球经过B点时的速度为多大？
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大？
（3）求小球从D点至S点的过程中阻力f所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球从A到B的过程中只有重力做功，根据机械能守恒求解小球经过B点的速度．
（2）根据机械能定律求出小球经过C点时的速度．由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力．
（3）小球从D点至S点的过程中，根据动能定理求解阻力f所做的功．

解答 解：（1）设小球经过B点时的速度大小为v_B，对小球从A到B的过程，由机械能守恒得：
$mg（H-h）=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得：v_B=$\sqrt{2g（H-h）}$=$\sqrt{2×10（10-5）}$m/s=10m/s．
（2）设小球经过C点时的速度为v_C，由机械能守恒得：$mgR（1-cos{53^0}）+\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
轨道对小球的支持力N，根据牛顿第二定律可得：N-mg=$m\frac{v_C^2}{R}$
由以上两式得，N=1.8mg+$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=1.8×1×10N+$1×\frac{1{0}^{2}}{4}N$=43N．
则小球对轨道的压力为N′=N=43N，则
（3）设小球受到的阻力为f，到达S点的速度为v_S，在此过程中阻力所做的功为W，易知v_D=v_B，
由动能定理可得：$mgh+W=\frac{1}{2}mv_S^2-\frac{1}{2}mv_D^2$
代入解得W=-68J
答：
（1）小球经过B点的速度为10m/s．
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力43N．
（3）小球从D点至S点的过程中，阻力f所做的功为-68J．

点评 本题是机械能守恒定律、牛顿第二定律、动能定理的综合应用，常见的陈题．小球从D点抛出后，阻力是变力，不能根据功的计算公式求阻力做功，运用动能定理求变力做功是常用的方法．