Question

如图所示，倾角θ=37°的粗糙传送带与光滑水平面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接，传送带始终以v=3m/s的速率顺时针匀速转动，A、B、C滑块的质量为 m_A=1kg，m_B=2kg，m_C=3kg，（各滑块均视为质点）．A、B间夹着质量可忽略的火药．k为处于原长的轻质弹簧，两端分别与B和C连接．现点燃火药（此时间极短且不会影响各物体的质量和各表面的光滑程度），滑块A以6m/s水平向左冲出，接着沿传送带向上前进，已知滑块A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.75，传送带与水平面足够长，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑块A沿传送带向上能滑的最大距离？
（2）滑块B通过弹簧与C相互作用的过程中，弹簧又到原长时B、C的速度？
（3）滑块A追上滑块B时能粘住，试定量分析在A与B相遇的各种可能情况下，A、B、C及弹簧组成系统的机械能范围？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出滑块A沿传送带向上能滑的最大距离；
（2）炸药爆炸过程，对A和B系统动量守恒，据此定律列式可求出B获得的速度．此后B与C通过弹簧发生作用，两者组成的系统动量守恒，包括弹簧在内系统的机械能守恒，根据两大守恒定律列式求解．
（3）A返回水平面的速度等于传送带的速度．当B向左的速度最大时，A粘住B时系统的机械能损失最大；A粘住B时，B向右的速度最大时，A粘住B时系统机械能损失最小．根据动量守恒和机械能守恒列式求解．

解答：解：（1）滑块A沿传送带向上的运动，根据动能定理得：
  -(mAgsinθ+μmAgcosθ)x1=0-

1

2

mA

v

2 A

代入数据解得：x₁=1.5m     
（2）炸药爆炸过程，对A和B系统，设B获得的速度为v_B，有：
-m_Av_A+m_Bv_B=0
解得：v_B=3m/s                
B与C相互作用，根据动量守恒得：mBvB=mB

v

′ B

+mC

v

′ C

根据机械能守恒定律得：
 

1

2

mB

v

2 B

=

1

2

m

v

′2 B

+

1

2

m

v

′2 C

解得：

v

′ B

=

mB-mC

mB+mC

vB=-0.6m/s，

v

′ C

=

2mB

mB+mC

vB=2.4m/s      
（3）A返回水平面的速度等于传送带的速度，

v

′ A

=3m/s
追上滑块B前，滑块B的速度在-0.6m/s与3m/s间变化
A粘住B时，

v

′ B

=-0.6m/s，机械能损失最大，
则 mA

v

′ A

+mB

v

′ B

=(mA+mB)

v

′

，
得：v′=0.6m/s
此时

v

′ C

=2.4m/s
A、B、C及弹簧系统机械能的最小值：E_min=

1

2

m_Cv

′2 C

+

1

2

（m_A+m_B）v′²J   
A粘住B时，

v

′ B

=3m/s，机械能损失最小，△E_损=0
A、B、C及弹簧系统机械能的最大值E_max=

1

2

mAv

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=13.5J
A、B、C及弹簧系统机械能范围：9.18J≤E≤13.5J
答：
（1）滑块A沿传送带向上能滑的最大距离是1.5m．
（2）滑块B通过弹簧与C相互作用的过程中，弹簧又到原长时B、C的速度分别为0.6m/s和2.4m/s．
（3）滑块A追上滑块B时能粘住，试定量分析在A与B相遇的各种可能情况下，A、B、C及弹簧组成系统的机械能范围为9.18J≤E≤13.5J．

点评：本题是一道反复考查动量守恒、功能关系和动能定理的题目，关键是正确分析每个分过程列出方程，特别是B与C的作用过程．是一道好题．