Question

2．如图所示，物体 A 的质量为 M，圆环 B 的质量为 m，通过绳子连结在 一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度 l=4m，现从静 止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，取 g=10m/s²．
（ 1）若圆环恰能下降 h=3m，求两个物体的质量之比 $\frac{M}{m}$；
（ 2）若圆环下降 h=3m 时的速度 v=5m/s，求两个物体的质量之比$\frac{M}{m}$．

Answer 1

分析 圆环下降过程中，圆环与A组成的系统机械能守恒，由此可得质量关系式，进而由几何关系分析AB的位移关系，可得两物体的质量关系．注意（1）中末速度为零，而（2）中还有动能存在．

解答 解：（1）若圆环恰好能下降h=3m，由机械能守恒定律得：mgh=Mgh_A，
由几何关系可得：h²+l²=（l+h_A）²
解得两个物体的质量应满足关系  M=3m
故M：m=3：1
（2）若圆环下降h=3m时的速度v=5m/s，由机械能守恒定律得：
mgh=Mgh_A+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv_A²
如图所示，A、B的速度关系为：v_A=vcosθ=$\frac{hv}{\sqrt{{h}^{2}+{l}^{2}}}$
解得两个物体的质量关系为M：m=35：29．
答：（ 1）若圆环恰能下降 h=3m，求两个物体的质量之比为3：1．
（ 2）若圆环下降 h=3m 时的速度 v=5m/s，求两个物体的质量之比为35：29．

点评 该题的关键是用好系统机械能守恒这个知识点；要注意明确恰好下落3m时，末速度应为零，而如果还有末速度时，应注意考虑动能．