Question

6．如图1所示，固定于水平面的U形导线框abcd处于竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为l，左端接一电阻R．一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置．

（1）若导体棒沿导线框以速度v向右做匀速运动．请根据法拉第电磁感应定律E=$\frac{△Φ}{△t}$，推导金属棒MN中的感应电动势E．
（2）若将导体棒与重物A用不可伸长的细线相连，细线绕过定滑轮，导体棒与滑轮之间的细线保持水平，如图2所示．静止释放重物，重物将通过细线拉动导体棒开始运动，运动过程中导体棒不会与定滑轮发生碰撞．若重物A的质量也为m，不计细线的质量以及一切摩擦．
i）在图3中定性画出导体棒MN的速度v随时间t变化的图象；
ii）当重物从静止开始下落，下落的高度为h时，重物的速度为v，此时导体棒的速度还没有达到稳定，在此过程中，求：
a．电阻R上产生的焦耳热；
b．导体棒的运动时间．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合磁通量的变化量推导切割产生的感应电动势公式．
（2）根据导体棒所受安培力的变化，对整体分析，得出加速度的变化，从而判断出导体棒速度随时间的关系．
根据能量守恒求出整个电路产生的焦耳热，从而得出电阻R上产生的焦耳热．
根据动量定理，结合微分思想，求出导体棒的运动时间．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律得，E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{BL△x}{△t}=BLv$．
（2）i）棒子速度增加，安培力增大，加速度减小，做加速度减小的加速运动，当加速度为零后，做匀速直线运动，速度时间图线如图所示．
ii）a、根据能量守恒得，mgh=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+Q$，
解得整个回路中产生的热量Q=mgh-mv²，
则电阻R上产生的热量${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q=\frac{R（mgh-m{v}^{2}）}{R+r}$．
b、根据动量定理得，$（mg-B\overline{I}L）t=2mv-0$，
即mgt-$（\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}△{t}_{1}+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}△{t}_{2}+$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{3}}{R+r}△{t}_{3}+…）$=2mv，
整理得，mgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}h}{R+r}$=2mv，
解得t=$\frac{2v}{g}+\frac{{B}^{2}{L}^{2}h}{mg（R+r）}$．
答：（1）推导过程如上所示．
（2）图线如图所示．
a、阻R上产生的焦耳热为$\frac{R（mgh-m{v}^{2}）}{R+r}$．
b、导体棒运动的时间为$\frac{2v}{g}+\frac{{B}^{2}{L}^{2}h}{mg（R+r）}$．

点评 本题考查了电磁感应与力学、能量的综合运用，注意运用能量守恒时，研究的对象是系统，不是导体棒，以及运用动量定理时，对系统运用动量定理．