Question

12．质量为m的小球系于长为l的轻绳下端，绳上端挂于车上的架子上，如图，求下列情况下绳与竖直方向的夹角及绳中的拉力大小．
（1）小车沿水平面做匀速直线运动；
（2）小车以加速度a水平向右加速运动；
（3）小车从倾角为α的光滑斜面上滑下；
（4）小车以加速度a沿斜面向上加速运动．

Answer 1

分析 小球和小车具有相同的加速度，隔离对小球分析，根据小球的加速度得出小球的合力，结合平行四边形定则，运用数学知识求解拉力的大小和绳子与竖直方向的夹角．

解答 解：（1）小车沿水平面匀速直线运动，小球处于平衡状态，受重力和拉力平衡，
可知细绳与竖直方向的夹角为0°，拉力T₁=mg．
（2）小车以加速度a水平向右加速运动；小球所受的合力为ma，根据平行四边形定则知：
${T}_{2}=\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}}$=m$\sqrt{{a}^{2}+{g}^{2}}$．
设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：tanθ=$\frac{ma}{mg}=\frac{a}{g}$．
（3）小车从倾角为α的光滑斜面上滑下；整体的加速度为：a=gsinα，
则小球的加速度为gsinα，
对小球分析，根据平行四边形定则知，绳子的拉力为：T₃=mgcosα，
绳子与竖直方向的夹角为α．
（4）小车以加速度a沿斜面向上加速运动，则小球的合力为ma，方向沿斜面向上，重力与合力方向的夹角为90°+α，根据余弦定理知，
$cos（90°+α）=\frac{（ma）^{2}+（mg）^{2}-{{T}_{3}}^{2}}{2mg•ma}$，
解得：${T}_{3}=\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}+2mg•masinα}$．
设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：$cosθ=\frac{（mg）^{2}+{{T}_{3}}^{2}-（ma）^{2}}{2mg•{T}_{3}}$=$\frac{mg+masinα}{\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}-2mg•masinα}}$．
答：（1）细线的拉力为mg，与竖直方向的夹角为0度．
（2）细线的拉力为$m\sqrt{{a}^{2}+{g}^{2}}$，与竖直方向夹角的正切值为$\frac{a}{g}$．
（3）细线的拉力为mgcosα，绳子与竖直方向的夹角为α．
（4）细线的拉力为$\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}+2mg•masinα}$，绳子与竖直方向夹角的余弦值为$\frac{mg+masinα}{\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}-2mg•masinα}}$．

点评 解决本题的关键知道小球和小车具有相同的加速度，结合加速度的大小，运用牛顿第二定律进行求解．