题目内容

19．如图甲所示，质量为1kg的滑块（可视为质点）在离地面高h=1m的A点沿光滑弧形轨道以初速度v0=4m/s开始下滑，通过水平轨道BC后，再沿着光滑的半圆轨道运动．已知滑块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ=0.10，半圆轨道半径为R，且C、O、D三点在同一竖直线上，设水平轨道长BC=x，所有轨道均平滑连接，不计空气阻力，g取10m/s2．求：

（1）若x=2m，则滑块到达C点的动能是多大？
（2）若滑块经过D点时对圆轨道的压力FD与水平轨道长x之间关系图象如图乙所示，则光滑半圆轨道的半径是多大？
（3）在满足（2）问的情况下，滑块离开D点后作平抛运动，落地点（图中未标出）离C点的距离为水平轨道BC总长x的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，求此情况下水平轨道BC总长x．

分析 （1）研究滑块从A到C的过程，由动能定理可以求出滑块到达C点的动能；
（2）对A到D，由动能定理求出滑块到达D点的速度．在D点，由牛顿运动定律和向心力公式求出轨道半径；
（3）滑块离开D点后做平抛运动，由平抛运动知识和向心力公式求出轨道长度．

解答 解 （1）A到C过程，由动能定理得：
mgh-μmgx=Ekc-$\frac{1}{2}$mv02，
带入数据解得：Ekc=16J；
（2）设滑块到达D点的速度大小为vD，轨道对其压力为FD′，A到D过程，由动能定理得：
mgh-μmgx-mg•2R=$\frac{1}{2}$mvD2-$\frac{1}{2}$mv02，
在D点，由牛顿第二定律得：FD+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律可知，即FD=FD′
由图乙可知，FD=22-4x
代入上面两式，解得：R=0.5m；
（3）滑块离开D点后做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，
水平方向：$\frac{\sqrt{2}}{3}$x=vDt，
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt2，
将FD′+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，FD=22-4x，R=0.5m，代入上面两式得：5x2+9x-72=0，
解得水平轨道BC总长为：x=3m；
答：（1）若x=2m，则滑块到达C点的动能是16J；
（2）光滑半圆轨道的半径是0.5m；
（3）此情况下水平轨道BC总长为3m．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚滑块的运动过程是正确解题的前提与关键，应用动能定理、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．

练习册系列答案
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14．在如图所示的s-t图象中，能表示质点做匀速直线运动的是（　　）
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