Question

8．如图所示，在xoy坐标平面内以O′为圆心，半径r=0.1m的圆形区域内存在垂直纸面向外的磁感应强度B=0.1T的匀强磁场，圆形区域的下端与x轴相切于坐标原点O．现从坐标原点O沿xoy平面在y轴两侧各30°角的范围内，发射速率均为v₀=1.0×10⁶m/s的带正电粒子，粒子在磁场中的偏转半径也为r=0.1m，不计粒子的重力、粒子对磁场的影响及粒子间的相互作用力，求：

（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）沿y轴正方向射入磁场的粒子，在磁场中运动的时间；
（3）若在x≥0.1m，y＞0的区域有电场强度E=1.0×10⁵ N/C、竖直向下的匀强电场，则粒子到达x轴范围．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力列方程求粒子的比荷；
（2）作出粒子运动轨迹，确定粒子在磁场中转过的圆心角后可确定磁场中的时间；
（3）当粒子沿着y轴两侧30°角射入时，将会沿着水平方向射出磁场区域，之后垂直虚线MN分别从P'、Q'射入电场区，做类平抛运动．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$…①
解得：$\frac{q}{m}=\frac{v_0}{Br}=1.0×{10^8}C/kg$…②
（2）分析可知，带电粒子运动过程如图所示，由粒子在磁场中运动的周期为：
$T=\frac{2πr}{v_0}$…③
可知粒子在磁场中运动的时间：$t=\frac{1}{4}T=\frac{πr}{{2{v_0}}}=1.57×{10^{-7}}s$…④
（3）由题意分析可知，当粒子沿着y轴两侧30°角射入时，将会沿着水平方向射出磁场区域，之后垂直电场分别从P?、Q?射入电场区，做类平抛运动，最终到达x轴的位置分别为最远位置P和最近位置Q．
粒子在电场中有：qE=ma…⑤
由几何关系P?到x轴的距离为：y₁=1.5r…⑥
${t_1}=\sqrt{\frac{{2{y_1}}}{a}}=\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$…⑦
最远位置P坐标为：${x_1}=r+{v_0}{t_1}=r+{v_0}\sqrt{\frac{3mr}{qE}}=0.27m$…⑧
Q?到x轴的距离为：y₂=0.5r…⑨
${t_2}=\sqrt{\frac{{2{y_2}}}{a}}=\sqrt{\frac{mr}{qE}}$…⑩
最近位置Q坐标为：${x_2}=r+{v_0}{t_2}=r+{v_0}\sqrt{\frac{mr}{qE}}=0.20m$…（11）
所以，粒子达到x轴范围（0.20m，0.27m）
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$是1.0×10⁸C/kg；
（2）沿y轴正方向射入磁场的粒子，在磁场中运动的时间1.57×10^-7s；
（3）粒子达到x轴范围（0.20m，0.27m）．

点评 考查粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，在电场力作用下做类平抛运动，掌握两种运动的处理规律，学会运动的分解与几何关系的应用．注意正确做出运动轨迹是解题的重点．