Question

12．人类已向火星发射多颗人造探测器，以对火星开展近距离科学研究．某探测器在距离火星表面高度为h的轨道上，成为一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，探测器的运动周期为T．已知火星的半径为R，引力常量为G．求：
（1）火星的质量M．
（2）火星表面的重力加速大小g．
（3）火星的第一宇宙速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根据探测器的万有引力等于向心力列式求解即可；
（2）在火星表面，在不考虑自转的情况下，物体的重力等于万有引力；
（3）火星的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．

解答 解：（1）探测器的万有引力等于向心力，则有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
解得：火星质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
（2）火星表面，由重力等于万有引力，有$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（3）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．
答：（1）火星的质量M为$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速大小g为$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$；
（3）火星的第一宇宙速度大小v为$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

点评 本题关键是明确探测器的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，同时要注意在火星表面，重力等于万有引力，基础题目．