Question

6．如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上．一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱．导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R₀．以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B．在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a．
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；
（2）某过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量．

Answer 1

分析 （1）由匀变速运动的速度公式求出t时刻bc边的速度，由公式E=Blv求感应电动势，由闭合电路欧姆定律求出感应电流随时间变化的表达式．
（2）对导轨，由动能定理求导轨动能的增加量．

解答 解：（1）导轨做初速为零的匀加速运动，t时刻的速度 v=at
回路中感应电动势：E=BLv=BLat
t时间内导轨的位移 s=$\frac{1}{2}$at²
此时回路的总电阻 R_总=R+2R₀s
由闭合电路欧姆定律得：
感应电流 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$
联立解得 I=$\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
（2）设此过程中导轨运动距离为s．
由动能定理W_合=△E_k得 W_合=Mas．  
由于摩擦力大小为 F_f=μ（mg+F_A），所以导轨克服摩擦力做功：W=μmgs+μW_A=μmgs+μQ
可得 s=$\frac{W-μQ}{μmg}$
故△E_k=Mas=$\frac{W-μQ}{μmg}$Ma．
答：
（1）回路中感应电动势随时间变化的表达式为E=BLat，感应电流随时间变化的表达式为I=$\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$；
（2）导轨动能的增加量为$\frac{W-μQ}{μmg}$Ma．

点评 本题解答时要注意回路中的电阻也时间在变化，要正确分析导轨的受力情况，运用电磁感应定律和力学规律解决电磁感应与力学的综合问题．