Question

20．如图所示，在x轴下方的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在x轴上方有半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xy平面并指向纸面内，磁感应强度为B．y轴下方的A点与O点的距离为d，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀，求E₀；
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的$\frac{1}{3}$，求粒子经过x轴时的位置．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出电场加速后粒子的速度．粒子进入磁场后做圆周运动，由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求解其轨道半径r；
（2）粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，由几何关系求出轨道半径，再由上题的结果求解电场强度E₀；
（3）将E=$\frac{1}{3}$E₀代入第1小题可得磁场中运动的轨道半径．画出粒子的运动轨迹，由几何关系求解粒子经过x轴时的位置坐标．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得
 qEd=$\frac{1}{2}$mv²      
粒子进入磁场后做圆周运动，有
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$        
解得粒子在磁场中运动的半径 r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$          
（2）粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图①，
可得 r=R            
由以上各式解得  E₀=$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2md}$
（3）将E=$\frac{1}{3}$E₀代入r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$，可得磁场中运动的轨道半径   r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$
粒子运动情况如图②，图中的角度α、β满足 $tanα=\frac{r}{R}$
 β=90°-2α
粒子经过x轴时的位置坐标为 x=r+$\frac{r}{sinβ}$
解得 x=$\sqrt{3}$R． 
答：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r是$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$；
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀，E₀是$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2md}$；
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的$\frac{1}{3}$，粒子经过x轴时的位置是$\sqrt{3}$R．

点评 带电粒子在磁场中的题目关键在于明确粒子圆周运动的圆心和半径，要根据题意画出轨迹，结合几何知识解答．