Question

10．航天宇航员在月球表面完成了如下实验：在月球表面固定一竖直光滑圆形轨道，在轨道内的最低点放一可视为质点的小球，当给小球水平初速度v₀时，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，已知圆形轨道半径为r，月球的半径为R．求：
（1）月球表面的重力加速度g
（2）若在月球表面上发射一颗环月卫星的最小发射速度v_min．

Answer 1

分析 由于小球恰好经过最高点，根据重力提供向心力，可求出在最高点的速度；小球在轨道内部运动过程中，只有重力做功，由动能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根据重力提供向心力，可求出最小发射速度．

解答 解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M．
球刚好完成圆周运动，则小球在最高点有 mg=$m\frac{{v}^{2}}{r}$…①
从最低点至最高点由动能定理得-mg•2r=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$…②
由①②可得；g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$．
在月球表面发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度，重力提供向心力：m′g=m′$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得${v}_{min}=\sqrt{gR}$=$\frac{{v}_{0}}{5r}\sqrt{5Rr}$．
答：（1）月球表面的重力加速度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$；
（2）在月球表面上发射一颗环月卫星的最小发射速度为$\frac{{v}_{0}}{5r}\sqrt{5Rr}$．

点评 本题涉及两个圆周运动，小球在光滑轨道内运动时，在最高点重力提供向心力；卫星在月球表面做圆周运动时，重力提供向心力．