Question

如图，半径为R，光滑的

1

4

圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平轨道CN相接．水平轨道的CD段光滑、DN段粗糙．一根轻质弹簧一端固定在C处的竖直面上，另一端与质量为2m的小物块b刚好在D点接触但不连接，弹簧处于自然长度．质量为m的小物块a从圆弧轨道顶端M点由静止释放并下滑，后与物块b碰撞后一起向左压缩弹簧（两物块不粘连）．若

.

DN

=l，物块a、b与轨道DN的动摩擦因数分别为μ₁=0.1和μ₂=0.2，重力加速度为g．求：
（1）小物块a第一次经过N点时，轨道对a支持力的大小．
（2）小物块a与物块b碰撞后瞬间的共同速度大小．
（3）若a、b能且只能发生一次碰撞，试讨论l与R的关系．

Answer 1

分析：（1）物块a由M到N过程中，轨道的支持力不做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出物块a第一次经过N点时的速度．在N点，对物块a由重力和轨道的支持力的合力提供其向心力，根据牛顿第二、第三定律求解物块a第一次经过N点时对轨道的压力．
（2）物块a从N滑至D过程中，由动能定理可求出与b碰撞前的速度大小．a、b碰撞过程，根据动量守恒定律求出碰后的共同速度．
（3）根据动能定理和动量守恒定律求出a、b一起压缩弹簧时的速度，根据物块a到达D点的速度不为零，求出l的范围，以及知道a、b只发生一次碰撞，物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速滑至P点也恰好停止．结合动能定理求出l的范围．

解答：解：（1）物块a由M到N过程中，由机械能守恒有：mgr=

1

2

mv

2 1

   ①
由牛顿第二定律有：F-mg=

m v 2 1

R

   ②
联立①②解得：轨道对a支持力 F=3mg
（2）物块a从N滑至D过程中，由动能定理有：-μ1mgl=

1

2

m

v

2 D1

-

1

2

m

v

2 1

   ③
物块a、b在D点碰撞，根据动量守恒有：mv_D1=3mv_D2 ④
解得两物块在D点向左运动的速度 vD2=

2g(R-0.1l)

3

（3）a、b一起压缩弹簧后又返回D点时速度大小v_D3=

2g(R-0.1l)

3

  ⑤
由于物块b的加速度大于物块a的加速度，所以经过D点后，a、b两物块分离，同时也与弹簧分离．讨论：①假设a在D点时的速度v_D1=0，即l=10R，要使a、b能够发生碰撞，则l＜10R ②假设物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道P点，物块b在水平轨道上匀减速滑至P点也恰好停止，设

.

PN

=x，则

.

DP

=l-x，
根据能量守恒，对a物块 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2 D3

  ⑥
对b物块μ₂2mg（l-x）=

1

2

2mv

2 D3

  ⑦
由以上两式解得：x=

1

3

l，⑧
将x=

1

3

l代人 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2 D3

解得：l=

10

13

R  ⑨
要使a、b只发生一次碰撞，则l≥

10

13

R  ⑩
综上所述，当10R＞l≥

10

13

R时，a、b能且只能发生一次碰撞．
答：
（1）小物块a第一次经过N点时，轨道对a支持力的大小为3mg．
（2）小物块a与物块b碰撞后瞬间的共同速度大小为

2g(R-0.1l)

3

．
（3）若a、b能且只能发生一次碰撞，讨论l与R的关系见上．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、动量守恒定律和动能定理，对学生能力的要求较高．要注意本题中含有非弹性碰撞，弹簧弹性最大值不等于碰撞前物块a的动能．