Question

如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、3m．A球从左边某高处由静止释放，并与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A球被反向弹回，且A、B球能达到的最大高度均为

1

4

R．重力加速度为g．试求：
（1）碰撞刚结束时小球A、B各自的速度大小和B球对轨道的压力大小；
（2）碰前A球的释放点多高？
（3）通过计算说明，碰撞过程中，A、B球组成的系统有无机械能损失？若有损失，求出损失了多少？

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小，根据牛顿第二定律求解
（2）碰撞过程满足动量守恒定律，列出等式，根据机械能守恒定律求解碰前A球的释放点高度．
（3）找出碰前和碰后系统的机械能，进行判断．

解答：解：（1）因 A、B球能达到的最大高度均为

1

4

R．
由机械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小为：

1

2

mv2=

1

4

mgR，
v_A=v_B=

gR 2

，
设B球受到的支持力大小为N，根据牛顿第二定律：
N-mg=m

v 2 B

R

，
得N=

3

2

mg．
由牛顿第三定律，小球B对轨道的压力大小为：N′=N=

3

2

mg．
（2）设A球碰前的速度方向为正方向，碰撞过程满足动量守恒定律，
mv₀=-mv_A+3 mv_B，代入v_A与 v_B的值，有：v₀=

2gR

，
如果A球的释放点高度为h，根据机械能守恒定律，mgh=

1

2

mv

2 0

，
解得：h=R．
（3）由前面解出的结果，碰前系统的机械能E₁=mgR，碰后系统的机械能为E₂=

1

4

mgR+

1

4

×3mgR=mgR，
故，E₁=E₂，无机械能损失．
答：（1）碰撞刚结束时小球A、B各自的速度大小是v_A=v_B=

gR 2

，B球对轨道的压力大小是

3

2

mg；
（2）碰前A球的释放点高度是R．
（3）碰撞过程中，A、B球组成的系统无机械能损失．

点评：本题主要考查了机械能守恒定律及动量守恒定律的应用，难度适中．