Question

如图，半径为R的光滑圆形轨道安置在一竖直平面上，左侧连接一个光滑的弧形轨道，右侧连接动摩擦因数为μ的水平轨道CD．一小球自弧形轨道上端的A处由静止释放，通过圆轨道后，再滑上CD轨道．若在圆轨道最高点B处对轨道的压力恰好为零，到达D点时的速度为

3gR

．求：
（1）小球经过B点时速度的大小．
（2）小球释放时的高度h．
（3）水平轨道CD段的长度l．

Answer 1

分析：（1）小球滚到两圆轨道最高点时对轨道无压力，仅受重力，运用向心力公式可求出在其位置的速度．
（2）从释放点到轨道最高点过程只有重力做功，由机械能守恒定律可解高度h
（3）由于CD段粗糙，不能运用机械守恒定律，但是对小球从最高点到D点全过程应用动能定理，可解决水平轨道CD的长度

解答：解：（1）根据小球在B处对轨道压力为零，由向心力公式有
mg=m

vB2

R

      ①
解得小球、经过B点时速度大小
v_B=

Rg

 ②
（2）取轨道最低点为零势能点，由机械能守恒定律
mgh=mg?2R+

1

2

mvB2  ③
由②、③联立解得h=2.5R④
（3）对小球从最高点到D点全过程应用动能定理有
mgh-μmgl=

1

2

mvD2⑤
又v_D=

3gR

⑥
由④⑤⑥联立解得水平轨道CD段的长度
l=

R

μ

答：（1）小球经过B点时速度的大小为

Rg

（2）小球释放时的高度为2.5R
（3）水平轨道CD的长度为

R

μ

点评：掌握向心力公式外，还熟悉了牛顿第二定律，最后比较了机械能守恒定律与动能定理的优缺点．本题中小球在轨道最高点压力为零是解题的切入点．