题目内容

9．如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场B，A为磁场边界上的一点．有大量完全相同的带电粒子沿纸面内向各个方向以相同的速率v通过A点进入磁场，最后这些粒子都从圆弧AB上射出磁场区域，AB圆弧的弧长是圆O周长的$\frac{1}{3}$，不计粒子之间的相互作用，粒子的质量为m，电量为q．求：
（1）圆形磁场区域的半径R；
（2）粒子在磁场中运动的最大时间；
（3）用斜线描出粒子所能到达的圆形磁场区域内的面积；（需用尺规作图）
（4）若把磁场撤去，加平行于纸面的电场E，发现所有从A点射入的粒子，从B点离开时动能最大，求最大动能．

分析 （1）带电粒子在磁场中运动的半径不变，随入射速度方向的变化，运动轨迹的位置发生改变，覆盖AB圆弧的运动轨迹为2，根据几何关系可求圆形磁场区域的半径R；
（2）带电粒子在磁场中运动的半径不变，速率不变，弧长越长，时间越大，所以粒子在磁场中运动的最大时间为图一中轨迹1所对应的时间；
（3）带电粒子在磁场中运动的半径不变，随入射速度方向的变化，运动轨迹的位置发生改变，粒子所能到达的面积如图二中阴影部分；
（4）电场线的方向沿AB方向时，电场力做功最多，末动能最大，依据动能定理，即可求解．

解答 解：（1）当轨道半径小于或等于磁场区半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径．如图一所示，当粒子从$\frac{1}{3}$圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为AB，粒子都从圆弧AB之间射出，
根据几何关系轨道半径：r1=Rcos30°，r1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R  ①
粒子在磁场中做圆周运动：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，r1=$\frac{mv}{qB}$    ②
有①②解得：R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$
（2）带电粒子在磁场中运动的半径不变，速率不变，弧长越长，时间越大，所以粒子在磁场中运动的最大时间为图一中轨迹1所对应的时间最大
t=T=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
（3）以A点为圆心AB为半径画圆弧交圆弧1与D点交圆弧2与B点，粒子所能到达的圆形磁场区域内的面积为图中阴影部分的面积；
（4）从B点离开时粒子动能最大，可见粒子从A点运动到B点时电场力做正功最多，那么B点所在的等势线是圆形区域在B点的切线，而电场线与等势线垂直，则当粒子带正电时，电场线沿OB方向，当粒子带负电时，电场线沿BO方向，但并不影响计算结果；
因此从A点运动到B点，电场力做功W=qE（R+Rcos60°）=$\frac{3}{2}$qER，
由动能定理，最大动能Ekm=$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{3}{2}$qER=$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$
答：（1）圆形磁场区域的半径R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（2）粒子在磁场中运动的最大时间为$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子所能到达的圆形磁场区域内的面积见图二；
（4）粒子从B点离开时最大动能为$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在磁场中运动的问题，要求同学们能正确计算粒子运动半径，再通过入射速度方向的变化分析粒子运动轨迹的变化，运用所学的几何知识可解决前三个问题，最后一问为动能定理的应用，总体上难度适中．

练习册系列答案
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