Question

如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带电量为+q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP=d，OQ=2d，不计粒子重力．
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向．
（2）若磁感应强度的大小为一定值B₀，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B₀．
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在第四象限的电场中做类平抛运动，将运动安水平方向与竖直方向分解，并结合动能定理可以求出粒子的速度和方向．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子的运动轨迹，由数学知识求出粒子的轨道半径；洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（3）求出粒子在磁场中的运动时间，求出粒子在二四象限运动的时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答：解：（1）粒子在第四象限的电场中做类平抛运动，水平方向：2d=v₀t
竖直方向做匀加速直线运动，最大速度v_y：d=

1

2

vyt
vy=at=

qE

m

?t
联立以上三公式，得：v0=vy=

2qEd m

粒子的合速度：v=

v 2 0 + v 2 y

=2

qEd m

设合速度与水平方向的夹角为θ，则：tanθ=

vy

v0

=1，故θ=45°
（2）粒子以垂直y轴的方向进入第二象限，则粒子偏转的角度是135°，圆心到O点的距离是2d，射出点到O点的距离是4d．偏转半径r=2

2

d
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：qvB0=

mv2

r

代人数据，整理得：B0=

mE 2qd

（3）若经过一段时间后粒子能够再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同则粒子运动的轨如图：

它在磁场中运动的半径：r′=

1

2

r=

2

d
粒子在一、三象限中运动的总时间：t1=

2πr′

v

=π

2md qE

粒子中二、四象限中运动轨迹的长度：s=2

2

d
粒子中二、四象限中运动的时间：t2=

2s

v

=2

2md qE

粒子相邻两次经过Q点所用的时间：t=t1+t2=(2+π)

2md qE

答：（1）粒子过Q点时速度的大小v=2

qEd m

，与水平方向的夹角θ=45°  （2）粒子以垂直y轴的方向进入第二象限时B0=

mE 2qd

（3）粒子相邻两次经过Q点所用的时间t=(2+π)

2md qE

点评：本题是带电粒子在电场、磁场中运动的综合题，根据题意作出粒子的运动轨迹．应用数学知识求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径、粒子转过的圆心角，是本题的难点，也是正确解题的关键．