题目内容

12.土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃.它们类似于卫星,与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km.已知环的外颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h,若不考虑环中颗粒间的相互作用,引力常量为6.67×10-11N•m2/kg2,试估算:
(1)土星的质量.
(2)组成“光环”颗粒的运动速度的大小范围.

分析 (1)研究环的外缘颗粒绕土星做圆周运动,根据万有引力提供向心力,列出等式求出土星的质量;
(2)根据万有引力提供圆周运动向心力由光环颗粒的半径大小范围求得圆周运动的线速度大小范围.

解答 解:(1)研究环的外缘颗粒绕土星做圆周运动,根据万有引力提供向心力,列出等式:$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
则得土星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×(1.4×1{0}^{5}×1{0}^{3})^{3}}{6.67×1{0}^{-11}×(14×3600)^{2}}kg$≈6.4×1026kg
(2)光环中颗粒绕土星圆周运动,万有引力提供圆周运动向心力有:
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以轨道半径最大时速度最小,即${v}_{min}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{max}}}=\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×6.4×1{0}^{26}}{1.4×1{0}^{5}×1{0}^{8}}}$m/s=1.7×104m/s;
轨道半径最小时速度最大,即${v}_{max}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{min}}}=\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×6.4×1{0}^{26}}{7.3×1{0}^{4}×1{0}^{3}}}$m/s=2.4×104m/s
即光环的速度大小范围为:2.4×104m/s≥v≥1.7×104m/s
答:(1)土星的质量为6.4×1026kg;
(2)组成“光环”颗粒的运动速度的大小范围为2.4×104m/s≥v≥1.7×104m/s.

点评 本题建立模型,知道旋转天体的轨道半径和周期,利用万有引力提供向心力,能求出中心天体的质量,并能根据半径大小范围求得环绕天体的速度大小范围.

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