题目内容
（2013?永康市模拟）均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，每边长L=0.1m，总电阻R=0.1Ω，总质量为m=0.1kg．将其置于磁感强度B=1.0T的水平匀强磁场上方h处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界面平行，取g=10m/s2．（1）当cd边刚进入磁场时，线框做匀速直线运动，求线框下落的高度h；
（2）线框进入磁场过程中的电功率P；
（3）若磁场的宽度等于L，从cd刚进入磁场到ab完全离开磁场的过程中，试在答题卷的坐标纸中画出cd两点间的电势差Ucd与时间的关系图线，在图象中注明关键点的数据（不要求书写求解过程）；
（4）为了减小下落的高度就能使线框刚进入磁场时就做匀速直线运动，三个同学各自提出了方案：
甲：用同种规格的导线，做成边长为2L的单匝线框；
乙：用同种材料但粗一些的导线，做成边长仍为L的单匝线框；
丙：用同种规格的导线，做成边长仍为L的双匝线框；
对上述三位同学的方案，请给出你的评价．
分析：（1）当cd边刚进入磁场时，线框做匀速直线运动时，安培力与重力平衡．而安培力与速度有关，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，由平衡条件求出速度，再根据运动学公式求解h．
（2）由BLv和I=
求出线框中的感应电流大小，线框进入磁场过程中的电功率由公式P=I2R求解．
（3）从cd刚进入磁场到ab完全离开磁场的过程中，分段画出电势差Ucd与时间的关系图线．
（4）根据线框进入磁场匀速运动的速度表达式，结合密度公式、电阻定律进行分析．
（2）由BLv和I=
| E |
| R |
（3）从cd刚进入磁场到ab完全离开磁场的过程中，分段画出电势差Ucd与时间的关系图线．
（4）根据线框进入磁场匀速运动的速度表达式，结合密度公式、电阻定律进行分析．
解答：解：（1）设cd边刚进入磁场时的速度为v，cd边产生的电动势 E=BLv，
线圈中产生的感应电流 I=
，cd边受到的安培力 F=BIL=
线圈做匀速直线运动，由平衡条件得：
mg=
代人数据解得：v=
=10m/s
由运动学公式得：h=
=
m=5m
（2）由（1）可得：E=BLv=1.0×0.1×10V=1.0V，
I=
=
A=10A
所以线框进入磁场过程中的电功率为 P=I2R=102×0.1W=10W
（3）从cd刚进入磁场到ab完全离开磁场的过程中，分段画出的电势差Ucd与时间的关系图线如图所示．
（4）线圈匀速进入磁场应满足的方程式：v=
①对甲同学将L→2L，只需将方程式中的R→2R，m→2m，L→2L
所以v′=
=
=v，h′=h，故甲的方案不可行．
②对乙同学的方案，先设原横截面积为S，后来的横截面积为S′，
则有：m=ρ?4L?S，m′=ρ?4L?S′，R=ρ电
，R′=ρ电
，
v=
=
，v′=
=
所以v′=v=
，h′=h，故乙的方案也不可行．
③对丙同学的方案，两匝线圈是串联关系，易得：m′=2m，R′=2R，E′=2E
由于 I=
、I′=
=
=
得：I′=I
F=BIL=
=mg?v=
、F′=2BI′L=2
=2mg
得：v′=
所以有：v′=v=
，h′=h，故丙的方案还是不可行．
答：（1）线框下落的高度h为5m；
（2）线框进入磁场过程中的电功率P为10W；
（3）坐标纸中画出cd两点间的电势差Ucd与时间的关系图线见上，在图象中注明关键点的数据见上；
（4）对上述三位同学的方案都不行．
线圈中产生的感应电流 I=
| E |
| R |
| B2L2v |
| R |
线圈做匀速直线运动，由平衡条件得：
mg=
| B2L2v |
| R |
代人数据解得：v=
| mgR |
| B2L2 |
由运动学公式得：h=
| v2 |
| g |
| 102 |
| 2×10 |
（2）由（1）可得：E=BLv=1.0×0.1×10V=1.0V，
I=
| E |
| R |
| 1.0 |
| 0.1 |
所以线框进入磁场过程中的电功率为 P=I2R=102×0.1W=10W
（3）从cd刚进入磁场到ab完全离开磁场的过程中，分段画出的电势差Ucd与时间的关系图线如图所示．
（4）线圈匀速进入磁场应满足的方程式：v=| mgR |
| B2L2 |
①对甲同学将L→2L，只需将方程式中的R→2R，m→2m，L→2L
所以v′=
| (2m)g(2R) |
| B2(2L)2 |
| mgR |
| B2L2 |
②对乙同学的方案，先设原横截面积为S，后来的横截面积为S′，
则有：m=ρ?4L?S，m′=ρ?4L?S′，R=ρ电
| 4L |
| S |
| 4L |
| S′ |
v=
(ρ?4L?S)g(ρ电?
| ||
| B2L2 |
| 16gρρ电 |
| B2 |
(ρ?4L?S′)g(ρ电
| ||
| B2L2 |
| 16gρρ电 |
| B2 |
所以v′=v=
| 16Gρρ电 |
| B2 |
③对丙同学的方案，两匝线圈是串联关系，易得：m′=2m，R′=2R，E′=2E
由于 I=
| E |
| R |
| E′ |
| R′ |
| 2E |
| 2R |
| E |
| R |
得：I′=I
F=BIL=
| B2L2v |
| R |
| mgR |
| B2L2 |
| B2L2v′ |
| R |
得：v′=
| mgR |
| B2L2 |
所以有：v′=v=
| mgR |
| B2L2 |
答：（1）线框下落的高度h为5m；
（2）线框进入磁场过程中的电功率P为10W；
（3）坐标纸中画出cd两点间的电势差Ucd与时间的关系图线见上，在图象中注明关键点的数据见上；
（4）对上述三位同学的方案都不行．
点评：第1小题比较常规，关键推导出安培力的表达式．第2小题是评价题，要根据速度的表达式，由密度公式和电阻定律综合分析．
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