题目内容
3．
如图所示，A为位于一定高度处的质量为m的小球，B为位于水平地面上的质量为M的长方形空心盒子，盒子足够长，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数μ=0.2．盒内存在着某种力场，每当小球进入盒内，该力场将同时对小球和盒子施加一个大小为F=Mg、方向分别竖直向上和向下的恒力作用；每当小球离开盒子，该力F同时立即消失．盒子的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以v=1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v0=6m/s的速度向右滑行．取重力加速度g=10m/s2，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子．试求：（1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；
（2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；
（3）从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．
分析 （1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间分为两部分，A在盒子内运动时运动牛顿第二定律求出加速度，再用运动学基本公式求出时间，A在盒子外运动的时间根据运动学基本公式即可求得，时间之和即为经历的总时间；
（2）分别求出小球在盒内和盒外时的盒子的加速度，进而求出小球运动一个周期盒子减少的速度，再求出从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数n，要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个；
（3）分别求出盒子在每个周期内通过的距离，观察数据特点，且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，从而求出总位移．
解答 解：（1）A在盒子内运动时，根据牛顿第二定律有F-mg=ma
解得：a=g
A在盒子内运动的时间${t}_{1}=\frac{2v}{a}=\frac{2×1}{10}=0.2s$
A在盒子外运动的时间${t}_{2}=\frac{2v}{g}=\frac{2×1}{10}=0.2s$
A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间T=t1+t2=0.2+0.2=0.4s
（2）小球在盒子内运动时，盒子的加速度${a}_{1}=\frac{μ（F+Mg）}{M}$=$\frac{0.2×（20+20）}{2}$=4m/s2
小球在盒子外运动时，盒子的加速度${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=0.2×10=2m/{s}^{2}$
小球运动一个周期盒子减少的速度为：△v=a1t1+a2t2=4×0.2+2×0.2m/s=1.2m/s．
从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为$n=\frac{{v}_{1}}{△v}=\frac{6}{1.2}=5$
故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．
（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为${s}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=6×0.2-\frac{1}{2}×4×0．{2}^{2}=1.12m$
小球第一次从盒子出来时，盒子的速度v1=v0-a1t1=6-4×0.2=5.2m/s
小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 ${s}_{2}={v}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$5.2×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}^{2}=1m$
小球第二次进入盒子时，盒子的速度v2=v1-a2t2=5.2-0.4=4.8m/s
小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为
${s}_{3}={v}_{2}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$=$4.8×0.2-\frac{1}{2}×4×0．{2}^{2}=0.88m$
小球第二次从盒子出来时，盒子的速度v3=v2-a1t1=4.8-0.8=4m/s
小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 ${s}_{4}={v}_{3}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$4×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}^{2}=0.76m$
…
分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差d=0.12m．且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s内盒子通过的路程为0.04m．
所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为
$s=\frac{n（{s}_{1}+{s}_{10}）}{2}=\frac{10×（1.12+0.04）}{2}=5.8m$
答：（1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间为0.4s．
（2）盒子上至少要开11个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触．
（3）从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为5.8m．
点评 该题是较为复杂的往复运动，要求同学们能正确分析每个过程的受力情况，求出加速度、时间和位移，还要善于观察数据，总结数据之间的规律，要求较高，难度很大，属于难题．
冲刺100分1号卷系列答案| A． | 小旗相当岸做直线运动 | B． | 小旗相当岸做曲线运动 | ||
| C． | 小旗相当岸的位移大小为vt | D． | 小旗相当岸的速度一定大于v |
| A． | 金属杆滑动时产生的感应电流方向是a→b→M→P→a | |
| B． | 当R=0时，杆ab匀速下滑过程中产生感生电动势的大小为2V | |
| C． | 金属杆的质量为m=0.2kg，电阻r=2Ω | |
| D． | 当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功为0.6J |
| A． | 静止或做匀速直线运动的物体一定不受外力的作用 | |
| B． | 物体的速度为零时一定处于平衡状态 | |
| C． | 物体的运动状态发生变化时，一定受到外力的作用 | |
| D． | 物体的位移方向一定与所受合力方向一致 |
如图所示，A、B两物体由弹簧连接，A、B两物体的重力分别为G1=5N和G2=6N，不计弹簧质量，整个装置处于静止状态．这时弹簧的弹力F=3N． | A． | 伽利略通过理想斜面实验提出了惯性的概念 | |
| B． | 弹力的方向总是与引起形变的作用力的方向相同 | |
| C． | 国际单位制中，kg、m、N是三个基本单位 | |
| D． | 用国际单位制中的基本单位表示，电压的单位可写作kg•m2/（A．S3） |
| A． | t2时刻，小物块离A处的距离达到最大 | |
| B． | t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大 | |
| C． | 0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右 | |
| D． | 0～t3时间内，小物块受到的摩擦力大小始终不变 |
