Question

如图所示，一根长L=5

2

cm的均匀细杆OB，可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上离O轴a=5cm处放有一小物体（视为质点），杆与其上的小物体均处于静止状态．若此杆突然以角速度ω匀速绕O轴顺时针转动．则为使小物体与杆不相碰，角速度ω不能小于临界值

 

rad/s，若杆以这个临界角速度ω₀转动，设经过时间t，小物体在竖直方向上与杆上某点的距离最大（设杆的转动角度不超过90°），试写出求解这个t的方程：

 

（用a、g、t和ω₀来表示）．

Answer 1

分析：杆以角速度ω匀速绕O轴顺时针转动，求解出物体正下方的杆上点的速度的竖直分量，会发现是一个定值；故杆再次接触物体的临界位置就是杆的端点正好在小物体的正下方；当物体速度与物体正下方的杆上点的速度的竖直分量相等时距离最大．

解答：解：杆以角速度ω匀速绕O轴顺时针转动，设杆与竖直反向夹角为θ，运动时间为t；
则物体正下方的杆上点的速度为：v=ωr=ω?

a

cosθ

；
该速度的竖直分量为：v_y=v?cosθ=ω?

a

cosθ

?cosθ=ωa；
杆再次接触物体的临界位置就是杆的端点正好在小物体的正下方，此时转动角度为45°，即

π

4

，物体下降距离为h=a=5cm；
根据h=

1

2

gt′2，解得：t′=0.1s；
故杆的角速度为：ω=

π 4

0.1

=2.5πrad/s；
当物体速度与物体正下方的杆上点的速度的竖直分量相等时距离最大，此时有：
gt=v_y
v_y=ω₀

a

cosω0t

?cosω₀t=ω₀a
即gt=ω₀a；
故答案为：

5

2

π，gt=ω₀a．

点评：本题关键明确滑块和平板的运动规律，知道物体正下方的杆上点的速度的竖直分量是一个定值，不难．