Question

12．超载和超速是造成交通事故的隐患之一．有一辆值勤的巡逻车停在公路边，巡逻车突然发现从他旁边以72km/h的速度匀速行驶的货车严重超载，他决定前去追赶，经过3s后发动巡逻车，以a=2.5m/s²加速度做匀加速运动，但巡逻车的最大速度为108km/h，求：
（1）巡逻车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
（2）巡逻车发动后要多长时间才能追上货车？

Answer 1

分析 货车匀速运动在前面，警车从静止开始匀加速运动在后面追，刚开始货车的速度大于警车速度，故两车之间的距离越来越大，当两车速度相等时，位移最大，之后警车速度大于货车，两车之间的距离逐渐减小直至追上．在此过程中注意，警车发动的时间，货车在做匀速运动，而警车不能一直加速下去，当速度达到108km/h时就不能增加了，而做匀速运动．所以该题要先分析警车能不能在匀加速阶段追上货车，若不能，则在匀速阶段追上．当警车追上货车时两车位移相等．

解答 解：（1）巡逻车最大速度为v=30 m/s，货车速度为v₁=20 m/s，设巡逻车加速t₁时间两车速度相等，此时两车相距最远，巡逻车加速时间为：
${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a}=\frac{20}{2.5}s=8s$
货车位移为：${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}（{t}_{1}^{\;}+{t}_{0}^{\;}）=[20×（8+3）]m=220m$
巡逻车位移为：${x}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}×20×8m=80m$
所以两车间的最大距离为：$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=（220-80）m=140m$
（2）当巡逻车达最大速度时，加速时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{a}=\frac{30}{2.5}s=12s$
这段时间货车位移为：${x}_{3}^{\;}={v}_{1}^{\;}（{t}_{2}^{\;}+{t}_{0}^{\;}）=[20×（12+3）]m=300m$
警车位移为：${x}_{4}^{\;}=\frac{1}{2}v{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}×30×12m=180m$
因为x₃＞x₄，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离为：$△x′={x}_{3}^{\;}-{x}_{4}^{\;}=300-180=120m$
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间迫赶上货车．则有：
$v△t=△x′+{v}_{1}^{\;}△t$
$△t=\frac{△x′}{v-{v}_{1}^{\;}}=\frac{120}{30-20}=12s$
所以警车发动后要经过$t={t}_{2}^{\;}+△t=12+12=24s$才能追上货车
答：（1）巡逻车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是140m
（2）巡逻车发动后要24s才能追上货车

点评 两物体在同一直线上运动，往往涉及到追击、相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：①分别对两个物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程；④找出时间关系、速度关系、位移关系；⑤解出结果，必要时要进行讨论．这是一道典型的追击问题．要抓住速度、时间、位移之间的关系，必要时可以作出速度时间图象帮助解题．