Question

11．如图所示AB为一半径为R，在竖直平面内放置的绝缘$\frac{1}{4}$圆弧，且OA竖直，在竖直平面内施加一匀强电场，有一质量为m，电荷量为+q的小球恰能在与OA连线夹角为30°处静止．求：
（1）匀强电场的最小值；
（2）若匀强电场向水平向右且E=$\frac{mg}{q}$，将带电小球从A点静止释放，则小球的最大速度多大？

Answer 1

分析 小球保持静止时受到重力、电场力和圆弧的支持力，运用作图法分析什么条件下电场力最小，再场强公式E=$\frac{F}{q}$得到场强的最小值；求电场力与重力的合力，确定小球的最大速度位置，由动能定律求解．

解答 解：（1）小球保持静止时受到重力mg、电场力F和圆弧的支持力T，作出力图如图．根据作图法可知，当电场力F与圆弧的支持力T垂直时，电场力最小，最小值为：
F=mgsinθ
则场强的最小值为：E=$\frac{F}{q}$=$\frac{mgsinθ}{q}$
（2）匀强电场向水平向右且E=$\frac{mg}{q}$，则mg与qE的合力与竖直方向夹45°斜向下，故AB弧的中点速度最大，由动能定理得：
qERsin45°-mgR（1-cos45°）=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）gR}$
答：（1）匀强电场的最小值$\frac{mgsinθ}{q}$；
（2）小球的最大速度$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）gR}$

点评 本题是物体平衡中极值问题，通过作图法得到极值的条件，也可以采用数学函数法求解极值．