Question

9．如图所示，一与水平方向成θ=30°的传送带正以v=20m/s的速度逆时针方向运动．在传送带下方有一光滑小圆弧，上端与传送带相切，下端与一木板Q相切，木板Q放在粗糙水平地面上，木板与水平地面间动摩擦因数为μ₁=0.1；现将一质量为m₁=2kg可视为质点的木块P放在传送带下端，并给木块P一个与传送带平行的初速度v₀=16m/s斜向上方，木块与传送带间动摩擦因数为μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，木块P与木板Q间动摩擦因数为μ₃=0.4，木板Q的质量为m₂=1kg，设传送带足够长．（g=10m/s²）

（1）木块P沿传送带上升的最大高度；
（2）为使木块P从木块Q上滑下来，木板Q的长度应满足的条件；
（3）若木块Q不从木板P上滑下，则木块P滑上木板Q后通过的水平距离．

Answer 1

分析 （1）木块P沿传送带上升过程做匀减速运动，根据牛顿第二定律求出加速度大小，再由运动学公式求上升的位移，从而求得上升的最大高度．
（2）根据牛顿第二定律求得木块P下滑的加速度，由速度公式求出P滑到斜面底端时的速度．木块P滑上木块Q后做匀减速运动，Q做匀加速运动，当两者速度相等时，由速度公式求出相等的速度，再由位移公式求出两者的位移，板长等于P与Q位移之差．
（3）两者共速后一起做匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解．

解答 解：（1）木块P冲上传送带时，加速度为a₁．根据牛顿第二定律得：
m₁gsinθ-μ₂m₁gcosθ=m₁a₁．
代入数据解得：a₁=2m/s²．
由0-v₀²=-2a₁x得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{1{6}^{2}}{2×2}$m=64m
故木块P沿传送带上升的最大高度为：
h=xsinθ=64×0.5=32m
（2）木块滑下时，加速度为a₂，则有：
m₁gsinθ-μ₂m₁gcosθ=m₁a₂．
代入数据解得：a₂=2m/s²．
物体滑回传送带下端时，速度为：
v₁=$\sqrt{2{a}_{2}x}$=$\sqrt{2×2×64}$=16m/s
木块P以v₁速度滑上木块Q后做匀减速运动，根据牛顿第二定律得：
对木块P有：μ₃m₁g=m₁a₃．
代入数据解得：a₃=4m/s²．
其速度变化关系为：v₂=v₁-a₃t；
对木板Q有：μ₃m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₄．
代入数据解得：a₄=5m/s²．
木块Q速度变化关系有：v₃=a₄t
当木块P与木块Q速度相等时，木块P滑下来就是木块P能否滑下的条件．则有：
v₂=v₁-a₃t=a₄t
代入数据解得：t=$\frac{16}{9}$s
此时有：v₂=v₃=$\frac{80}{9}$m/s
此时，木块P滑行的位移为：x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$t=$\frac{16+\frac{80}{9}}{2}$×$\frac{16}{9}$=$\frac{1792}{81}$m
木板Q滑行的位移为：x₂=$\frac{{v}_{2}}{2}$t
木板的长度为：L=x₁-x₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$t=$\frac{128}{9}$m
为了木块P要从木板Q上滑下，故L＜$\frac{128}{9}$m．
（3）当木块P不从木板Q滑下，此时有两个过程，当两者速度相等时，木块P与木板Q保持相对静止，此时有：
   μ₂（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a₅．
解得 a₅=1m/s²．
木块P与木板Q一起运动的位移为：v₂²=2a₅x₃．
木块P滑上木板Q后通过的水平距离为：x=x₁+x₃．
解得：x=$\frac{1664}{27}$m≈61.6m
答：（1）木块P沿传送带上升的最大高度是32m；
（2）为使木块P从木块Q上滑下来，木板Q的长度应满足的条件是L＜$\frac{128}{9}$m；
（3）若木块Q不从木板P上滑下，则木块P滑上木板Q后通过的水平距离是61.6m．

点评 解决本题的关键是分析物体的受力情况，运用牛顿第二定律和运动学公式分段进行研究，要抓住速度相等这个临界状态．第三问，也可以根据动能定理求解．