Question

如图，半径为2R的

1

4

圆弧轨道AB和半径为R的

1

4

圆弧轨道BC相切于B点，两轨道置于竖直平面内，在C点的正上方有一厚度不计的旋转平台，沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q，两孔离轴心等距离，旋转时两孔均能到达C点正上方，平台离C点的高度为R，质量为2m的小球1自A点由静止开始下落，在B点与质量为m的2球作弹性碰撞，碰后2球过C点，且恰能无碰撞穿过小孔P．
（1）两球第一次碰撞后2球的速度大小
（2）欲使2球能从小孔Q落下，则平台的角速度ω 应满足什么条件？（不计所有阻力）

Answer 1

分析：（1）先根据动能定理求得小球1从A点处滑至B点时的速度．两球发生的是弹性碰撞，满足动量守恒和机械能守恒，根据两大守恒定律列式求解两球第一次碰撞后2球的速度大小．
（2）求出小球2在空中的运动时间，由平台转动的周期性，再求解平台的角速度ω 应满足什么条件．

解答：解：（1）设小球1在B点速度大小为v₀，则根据动能定理得：
2mg?2R=

1

2

?2mv₀²-0
解得：v₀=2

gR

两球碰撞过程满足动量守恒和机械能守恒，设两球碰后速度大小为v₁和v₂，取碰撞前球1的速度方向为正方向，则：2mv₀=2mv₁+mv₂
且

1

2

?2mv₀²=

1

2

?2mv₁²+

1

2

?mv₂²
所以：v₂=

4

3

v₀=

8

3

gR

； v1=

1

3

v0=

2 gR

3

（2）对碰后B球上升至P的过程，由机械能守恒得：

1

2

mv₂²=

1

2

mv_P²+2mgR
解得：v_P=

2

3

7gR

而小球做竖直上抛的时间满足：t=

2vp

g

又因为t=

(2k+1)π

ω

   （k=0，1，2，3…）
所以角速度ω=

(2k+1)π

t

=

3(2k+1)π 7gR

28R

，（k=0，1，2，3…）
答：（1）两球第一次碰撞后2球的速度大小为2

gR

．
（2）欲使2球能从小孔Q落下，则平台的角速度ω 应满足ω=

3(2k+1)π 7gR

28R

，（k=0，1，2，3…）．

点评：分析研究对象的运动过程是解决动力学问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．本题关键要抓住圆周运动的周期性得到角速度的表达式，不能当作特殊值去求．