Question

10．2015年7月24日，天文学家确认发现首颗位于“宜居带”上体积最接近地球大小的行星（代号为“开普勒-452b”），这是人类在寻找另一颗地球的道路上的重要里程碑．设想某一天，宇航员登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜轨道AB和半圆弧轨道BC组成，将质量为m₀=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，万有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．求：（计算结果均保留3位有效数字）

（1）假设该行星的半径R=5000km，求行星的质量M；
（2）在（1）问前提下，若已知质量为m的飞船距离该行星中心距离为r处的引力势能表达式为E_p=-$\frac{GMm}{r}$，将质量为m=2000kg的飞船，在该行星上发射到距离行星表面的高度h=5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响）

Answer 1

分析 （1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求该行星表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力求出在圆轨道上的动能，结合初末状态的机械能大小，通过功能关系求出火箭至少要对飞船做功的大小．

解答 解：（1）设小球质量为m，小球过C点有：$F+{m}_{C}g={m}_{C}\frac{{v}^{2}}{r}$，
对小球从出发到C点，由动能定理得，${m}_{C}g（H-2r）=\frac{1}{2}{m}_{C}{v}^{2}$，
联立解得F=$\frac{2{m}_{C}g}{r}H-5{m}_{C}g$，
由图可知，H₁=0.5m，F₁=0N，H₂=1.0m，F₂=5N，
解得g=5m/s²．
根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，行星的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
代入数据解得M=1.87×10²⁴kg．
（2）由题意可知，由于不考虑自转，卫星在该行星表面的机械能为：${E}_{1}=-\frac{GMm}{R}$，
在h=R圆轨道上卫星的机械能：${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{2R}$，
可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{GMm}{4R}$，
${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}=-\frac{GMm}{4R}$，
由功能关系可得，$W={E}_{2}-{E}_{1}=-\frac{GMm}{4R}-（-\frac{GMm}{R}）$=$\frac{3GMm}{4R}$．
代入数据解得W=3.75×10¹⁰J．
答：（1）行星的质量为1.87×10²⁴kg．
（2）火箭至少要对飞船做功3.75×10¹⁰J．

点评 本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．以及掌握万有引力定律的两个重要理论，并能灵活运用．