Question

1．如图所示，C为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量m_C=6.5kg，顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可不计，A和B是两个滑块，质量分别为m_A=3.0kg，m_B=0.50kg，由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连，开始时设法抓住A、B和C，使它们都处在静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直，今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C，并同时释放A、B和C，若C沿桌面向左滑行，其加速度a=3.0m/²，B相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的），试求C与桌面间的μ．（图中α=37°，β=53°，重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 抓住B开始时相对于桌面静止，且以后在桌面上无水平方向的位移，得出B在水平方向的加速度，绳不可伸长，又不是绷紧的，根据平行四边形定则得出A、B在水平方向和竖直方向的加速度与A、B相对C的加速度大小关系，从而求出A、B在水平方向和竖直方向上的加速度，对系统分析，通过水平方向和竖直方向上的加速度，结合动量定理求出滑动摩擦力和支持力，从而求出动摩擦因数．

解答 解：设a_A、a_B与a_A′、a_B′分别为A、B相对于桌面的加速度的大小和相对于C的加速度大小，设水平向右的x轴为正方向，竖直向上为y轴的正方向．
因为B开始时相对于桌面静止，以后相对于桌面无水平方向的位移，可知a_B沿水平方向的分量为0，即
a_Bx=a_Bx′-a=0，
解得${a}_{Bx}′=a=3m/{s}^{2}$，
因绳不可伸长，又不是绷紧的，故有a_A′=a_B′，它们的方向分别沿所在的斜面，方向如图所示，各分量的大小为：
a_Bx′=a_B′cos53°，
a_By′=a_B′sin53°，
a_Ax′=a_A′cos37°，
a_Ay′=-a_Asin37°，
由此得，${a}_{B}′={a}_{A}′=5m/{s}^{2}，{a}_{By}′=4m/{s}^{2}$，
${a}_{Ax}′=4m/{s}^{2}，{a}_{Ay}′=-3m/{s}^{2}$，
相对于各地面各加速度的分量大小为${a}_{Ax}={a}_{Ax}′-a=1m/{s}^{2}$，
${a}_{Ay}={a}_{Ay}′=-3m/{s}^{2}$，
a_By=a_By′=4m/s²，
对于由A、B和C组成的系统，在水平方向受到的外力是桌面对C的摩擦力f，方向向右，推力F，方向向左，根据动量定理得，
（f-F）△t=m_A△v_Ax+m_B△v_Bx-m_C△v，
或f-F=${m}_{A}\frac{△{v}_{Ax}}{△t}+{m}_{B}\frac{△{v}_{Bx}}{△t}-{m}_{C}\frac{△v}{△t}$，
即f-F=m_Aa_Ax+m_Ba_Bx-m_Ca，
代入数据解得f=10N．
系统在竖直方向上受到的外力是：桌面作用于C的弹力N，方向竖直向下，因此有：
[N-（m_A+m_B+m_C）g]△t=m_C△v_Cy+m_A△v_Ay+m_B△v_By，
则有N-（m_A+m_B+m_C）g=m_Ca_Cy+m_Aa_Ay+m_Ba_By，
代入数据解得N=93N．
则动摩擦因数$μ=\frac{f}{N}=\frac{10}{93}≈0.11$．
答：C与桌面间的μ为0.11．

点评 本题运用平行四边形定则，结合相对加速度的大小求出A、B水平方向和竖直方向上的加速度是解决本题的关键，知道动量定理和牛顿第二定律的联系，本题难度较大．