题目内容
4．在有“科学界奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2003 年度世界科技大突破评选中，物理学中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点．世界科技的发展显示，暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点．宇宙中的暗物质是不能直接观测到的东西，存在的依据来自子螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有飞散开去，仅靠自身质量产生的引力是远不足以把它们集合在一起的，一定存在暗物质，它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住．根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L （L远大于星体的直径），它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．（已知引力常量为G）（1）若没有其他物质存在，试推算该双星系统的运动周期T0
（2）若实验上观测到的运动周期为T′，且T′：T0=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．为了解释观测周期T′和（1 ）中理论上推算的双星运动的周期T 不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜也观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
分析 （1）双星系统围绕两者连线的中点做圆周运动，相互间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期T．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，双星系统就由相互间的万有引力的暗物质的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出暗物质的质量，再求解其密度．
解答 解：（1）由万有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
解得：
${T}_{0}=πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）设暗物质的质量为M′，重心在O点，由万有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{{M}^{′}M}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$，
T′：T0=1：$\sqrt{N}$，
解得：
$M′=M\frac{N-1}{4}$，
该星系间这种暗物质的密度为：
$ρ=\frac{M′}{\frac{1}{6}π{L}^{3}}=\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．
答：（1）该双星系统的运动周期是$πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）该星系间这种暗物质的密度$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．
点评 对于双星问题和暗物质问题，关键都要建立模型，确定向心力的来源．若双星圆周运动的圆心不在连线的中点，要采用隔离法研究．
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某同学为了测定一根轻弹簧压缩到最短时具有的弹性势能的大小，将弹簧的一端固定在光滑水平桌面上，如图所示，用已知质量为m的钢球将弹簧压缩至最短，而后突然释放，弹簧的弹性势能转化为钢球的动能，钢球将沿水平方向飞出桌面，实验时：
15．
如图所示，桌面离地高度为h=1m，质量为1kg的小球，从离桌面H=2m高处由静止下落．若以桌面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中小球重力做功分别为（g=10m/s2）（ ）
如图所示，桌面离地高度为h=1m，质量为1kg的小球，从离桌面H=2m高处由静止下落．若以桌面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中小球重力做功分别为（g=10m/s2）（ ）| A． | 10J，10J | B． | -10J，30J | C． | -10J，10J | D． | 10J，30J |
12．
如图所示，一薄木板斜搁在高度一定的平台和水平地板上，其顶端与平台相平，末端位于地板的P处，并与地板平滑连接，将一可看成质点的滑块自木板顶端无初速度释放，滑块沿木板下滑，接着在地板上滑动，最终停在Q处．滑块和木板及地板之间的动摩擦因数相同，现将木板截短一半，仍按上述方式搁在该平台和水平地板上，再次将滑块自木板顶端无初速度释放，则滑块最终将停在（ ）
如图所示，一薄木板斜搁在高度一定的平台和水平地板上，其顶端与平台相平，末端位于地板的P处，并与地板平滑连接，将一可看成质点的滑块自木板顶端无初速度释放，滑块沿木板下滑，接着在地板上滑动，最终停在Q处．滑块和木板及地板之间的动摩擦因数相同，现将木板截短一半，仍按上述方式搁在该平台和水平地板上，再次将滑块自木板顶端无初速度释放，则滑块最终将停在（ ）| A． | P处 | B． | P、Q之间 | C． | Q处 | D． | Q的右侧 |
如图所示，用竖直向上的拉力F提升原来静止的质量m=10kg的物体，使其以a=2m/s2的加速度匀加速竖直上升，不计其他阻力，g=10m/s2，求开始运动的3s内：
9．
如图所示，一根弯成直角的金属棒abc绕其一端a在纸面内以角速度ω匀速转动，已知ab：bc=4：3，金属棒总长为L，若加一个垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，则棒两端的电势差Uca（ ）
如图所示，一根弯成直角的金属棒abc绕其一端a在纸面内以角速度ω匀速转动，已知ab：bc=4：3，金属棒总长为L，若加一个垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，则棒两端的电势差Uca（ ）| A． | $\frac{16}{98}$BL2ω | B． | $\frac{25}{98}$BL2ω | C． | $\frac{9}{49}$BL2ω | D． | $\frac{9}{98}$BL2ω |
16．某同学在做“用油膜法估测分子大小”的实验中，计算出的分子直径结果明显偏大，可能是由于（ ）
| A． | 油酸未完全散开 | |
| B． | 油酸中含有大量酒精 | |
| C． | 计算油膜面积时，舍去了所有不足一格的方格 | |
| D． | 求每滴体积时，lmL的溶液的滴数误多计了10滴 |
如图所示，虚线两测得磁感应强度均为B，但是方向相反，电阻为R的导线弯成顶角为90°、半径为r的两个扇形组成的回路，O为圆心，整个回路可绕O点转动．若由图示的位置开始沿顺时针方向以角速度ω转动，则在一周期内电路释放的电能为$\frac{4{πB}^{2}{r}^{4}ω}{R}$．
6．
如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．环中维持恒定的电流I不变，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H．已知重力加速度为g，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．环中维持恒定的电流I不变，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H．已知重力加速度为g，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）| A． | 在时间t内安培力对圆环做功为mgH | |
| B． | 圆环先做匀加速运动后做匀减速运动 | |
| C． | 圆环运动的最大速度为$\frac{2πBIrtcosθ}{m}$-gt | |
| D． | 圆环先有收缩后有扩张的趋势 |