Question

7．如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，在某一时刻两行星相距最近，则：
①经过时间t=T₁+T₂，两行星再次相距最近；
②经过时间t=$\frac{{T}_{1}×{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，两行星再次相距最近；
③经过时间t=$\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}$，两行星相距最远；
④经过时间t=$\frac{{T}_{1}×{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$，两行星相距最远
以上说法中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上；两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上；由于A的轨道半径小，所以A的角速度大，即A转得较快；当A比B多转一圈时两行星再次相距最近；当A比B多转半圈时两行星相距最远．

解答 解：①②、根据万有引力提供向心力，列出等式：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，所以ω_A＞ω_B
A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，所以T₁=$\frac{2π}{{ω}_{A}}$，T₂=$\frac{2π}{{ω}_{B}}$
两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上．
所以当A比B多转一圈时两行星再次相距最近，列出等式：（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t=2π
解得 t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，故①错误，故②正确．
③④、两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上．所以当A比B多转半圈时两行星相距最远，列出等式：
（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t=π
解得 t=$\frac{{T}_{1}×{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$，故③错误，④正确．
故选：B

点评 解该题关键在于明确两行星相距最近和最远的条件，知道行星绕恒星运行时，由万有引力提供向心力，并要掌握A、B的角速度关系以及能根据转过的弧度的关系列出方程．