Question

20.如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）.在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B间加电压U₀，则质点P可以静止平衡.

图1

            图2

     现在A、B间加上如图2所示的随时间t变化的电压U.在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速度为0.已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图2中U改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式.（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次）.

Answer 1

20. 设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U₀时，有

q=mg　                                                            ①

当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a，

q－mg=ma　                                                  ②

解得a=g

当两板间的电压为0时，P自由下落，加速度为g，方向向下.

在t=0时，两板间的电压为2U₀，P自A、B间的中点向上做初速为零的匀加速运动，加速度为g.经过τ₁，P的速度变为v₁，此时使电压变为0，让P在重力作用下做匀减速运动.再经过τ₁′，P正好到达A板且速度为0，故有

v₁=gτ₁　0=v₁－gτ₁′

d=gτ₁²+v₁τ₁′－gτ₁′²

由以上各式得τ₁=τ₁′　τ₁=

因为t₁=τ₁

得t₁=　                                                    ③

在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过τ₂，速度变为v₂，方向向下.这时加上电压使P做匀减速运动，经过τ₂′，P到达B板且速度为零，故有

v₂=gτ₂　0=v₂－gτ₂′

d=gτ₂²+v₂τ₂′－gτ₂′²

由以上各式得τ₂=τ₂′　τ₂=

因为t₂=t₁+τ₁′+τ₂

得t₂=　                                           ④

在电力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过τ₃，速度变为v₃，此时使电压变为0，让P在重力作用下做匀减速运动，经过τ₃′，P正好到达A板且速度为0，故有

v₃=gτ₃　0=v₃－gτ₃′

d=gτ₃²+v₃τ₃′－gt₃′²

由上得τ₃=τ₃′　τ₃=

因为t₃=t₂+τ₂′+τ₃　                                           ⑤

得t₃=

根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过τ₂，再加上电压，经过τ₂′，P到达B且速度为0，

因为t₄=t₃+τ₃′+τ₂

得t₄=

同样分析可得

t_n=（+2n－3）（n≥2）　                          ⑥